Zbiory skonczone

[Hydrantt]

W trzydziestoosobowej grupie studenckiej dwudziestu studentów uczy się angielskiego, 14 niemieckiego, a 10 francuskiego. Jeśli żaden z nich nie uczy się wszystkich trzech języków, a 8 nie uczy się ani jednego, to ilu studentów tej grupy uczy się niemieckiego i francuskiego?

Wprowadzilem oznaczenia:
W - wszyscy
N - niemiecki
A - angielski
F - francuski


\(|A| = 20\)
\(|N| = 14\)
\(|F| = 10\)
\(|A \cap N \cap F = 0\)
\(|A \cup N \cup F|' = 8\) (tutaj jest dopelnienie)
Z \(|A \cup N \cup F|' = 8\) obliczylem \(|A \cup N \cup F| = 22\)

Tyle ze nie pomaga mi to w obliczeniu \(|N \cap F|\), jakies wskazowki?

[Panko]

\(30-8=|A| + |N + |F| - |A \cap N| - |A \cap F| - |F \cap N| + |A \cap N \cap F|\)
\(22=20 + 14+ 10 - |A \cap N| - |A \cap F| - |F \cap N| +0\)
\(22= |A \cap N| + |A \cap F|+|F \cap N|\)
Dalej do przemyślenia !

[Hydrantt]

To tez mialem rozpisane z zasady wlaczen i wylaczen dla n=3, ale myslalem ze to zly kierunek.
Bo jak tu teraz wyznaczyc \(|A\cap N|\) i \(|A\cap F|\)

Probowalem z prawa sumy, ale otrzymuje wtedy:
\(|A\cap N| = |A| + |N| - |A\cup N|\)
Dla drugiego analogicznie i znowu sie zatrzymuje.

[Panko]

Zauważmy,że \(2\le |F \cap N | \le 10\),
bo , jeżeli \(1\ge |F \cap N |\) \(\So 1 \ge 22- |A\cap N | -|A\cap F|\)\(\So |A\cap N | +|A\cap F| \ge 21\),
a to nie jest możliwe bo\(|A| =20\)
Należy rozpatrzeć, które \(2\le |F \cap N | \le 10\) , są możliwe ?

[Panko]

np , \(| N \cap F |=2 , | A\cap N | =12,| A\cap F | =8\), czyli każdy Angol jest po Francusku lub po Niemiecku
Czy jet możliwe, że \(n=| N \cap F | \ge 3\) ?
wtedy \(14-n\) to Niemcy, którzy nie mówią po Francusku
wtedy\(10-n\) to Francuzi , którzy nie mówią po Niemiecku
Maksymalnie : Anglików mówiących po Niemiecku jest \(14-n\)
Maksymalnie : Anglików mówiących po Francusku jest \(10-n\)
łącznie \(| N \cap F | +| N \cap A |+| A\cap F | = n+ 14-n+10-n= 24-n\)
Jeżeli \(n \ge 3 \So 24-n \le 21\) co nie jest możliwe.
Odp: \(| N \cap F |=2 , | A\cap N | =12,| A\cap F | =8\), czyli każdy Angol jest po Francusku lub po Niemiecku

[dadam]

22=|A∩N|+|A∩F|+|F∩N|

Z tego wynika, że wszyscy studenci ( z tych 22) uczą się dokładnie po 2 języki (i nie ma takiego studenta który uczyłby się tylko jednego):

masz zatem układ równań:

x+y=20
y+z=14
x+z=10

gdzie\(x=|A \cap F|\)
\(y=|A \cap N|\)
\(z=|N \cap F|\)