1. Z talii 52 kart losujemy jednocześnie 13 kart. Oblicz prawdopodobieństwo że wśród nich :
a) będzie co najmniej jeden as
b) będą trzy damy i dwie dziesiątki
c) będą cop najwyżej dwie damy
2. W kolejce do kasy ustawiło się losowo 10 osób, wśród których są osoby A, B i C. Oblicz prawdopodobieństwo że :
a) osoby A, B i C będą stały obok siebie w dowolnym porządku,
b)osoby A i B będą stały obok siebie w dowolnym porządku, natomiast pomiędzy osobą C a którąś z osób A lub B będą stały dwie inne osoby.
oblicz prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(\overline{\overline{\Omega}} = {52 \choose 13}\)
a)
A'- nie będzie żadnego asa, czyli wylosujemy 13 kart spośród pozostałych 48 kart
\(\overline{\overline{A'}} = {48 \choose 13}\)
\(P(A)=1-P(A')\\P(A)=1-\frac{ {48 \choose 13} }{ {52 \choose 13}\)
b)
Losujemy 3 damy spośród czterech i 2 dziewiątki spośród czterech oraz 8 kart z pozostałych 44 kart
\(P(A)=\frac{ {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {44 \choose 8} }{ {52 \choose 13} }\)
c) Losujemy 13 kart spośród pozostałych 48 (bez dam) lub 1 damę z czterech i 12 kart z pozostałych 48 lub 2 damy z czterech i 11 kart z pozostałych:
\(P(A)=\frac{ {48 \choose 13} + {4 \choose 1} \cdot {48 \choose 12} + {4 \choose 2} \cdot {48 \choose 11} }{ {52 \choose 13} }\)
\(\overline{\overline{\Omega}} = {52 \choose 13}\)
a)
A'- nie będzie żadnego asa, czyli wylosujemy 13 kart spośród pozostałych 48 kart
\(\overline{\overline{A'}} = {48 \choose 13}\)
\(P(A)=1-P(A')\\P(A)=1-\frac{ {48 \choose 13} }{ {52 \choose 13}\)
b)
Losujemy 3 damy spośród czterech i 2 dziewiątki spośród czterech oraz 8 kart z pozostałych 44 kart
\(P(A)=\frac{ {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {44 \choose 8} }{ {52 \choose 13} }\)
c) Losujemy 13 kart spośród pozostałych 48 (bez dam) lub 1 damę z czterech i 12 kart z pozostałych 48 lub 2 damy z czterech i 11 kart z pozostałych:
\(P(A)=\frac{ {48 \choose 13} + {4 \choose 1} \cdot {48 \choose 12} + {4 \choose 2} \cdot {48 \choose 11} }{ {52 \choose 13} }\)
2.
wszystkich ustawień 10 osób w kolejce jest 10!
a)
Możliwości zajęcia trzech miejsc obok siebie w tej kolejce jest 8, czyli wszystkich ustawień jest \(8\cdot3!\cdot7!\)
\(P(A)=\frac{8\cdot3!\cdot7!}{10!}\)
b)
Jeżeli osoby A i B zajmą miejsca 1,2 lub 2,3 lub 3,4 albo 7,8 lub 8,9 lub 9,10 to możliwość ustawienia osoby C jest tylko jedna, a jeżeli osoby A i B zajmą miejsca 4,5 lub 5,6 lub 6,7, to są dwie możliwości ustawienia osoby C. Zajęcia takich trzech miejsc jest więc 12. Ustawiamy osoby A i B w dowolnej kolejności na dwóch miejscach, a pozostałe 7 osób w dowolnej kolejności na pozostałych miejscach.
\(P(A)=\frac{12\cdot2!\cdot7!}{10!}\)
wszystkich ustawień 10 osób w kolejce jest 10!
a)
Możliwości zajęcia trzech miejsc obok siebie w tej kolejce jest 8, czyli wszystkich ustawień jest \(8\cdot3!\cdot7!\)
\(P(A)=\frac{8\cdot3!\cdot7!}{10!}\)
b)
Jeżeli osoby A i B zajmą miejsca 1,2 lub 2,3 lub 3,4 albo 7,8 lub 8,9 lub 9,10 to możliwość ustawienia osoby C jest tylko jedna, a jeżeli osoby A i B zajmą miejsca 4,5 lub 5,6 lub 6,7, to są dwie możliwości ustawienia osoby C. Zajęcia takich trzech miejsc jest więc 12. Ustawiamy osoby A i B w dowolnej kolejności na dwóch miejscach, a pozostałe 7 osób w dowolnej kolejności na pozostałych miejscach.
\(P(A)=\frac{12\cdot2!\cdot7!}{10!}\)