Funkcje trygonometryczne

[ola2104]

Witam!
Zgłaszam sie z problemem zwiazanym z zadaniami z trygonometrii. Gdyby ktos byl tak uprzejmy i wsparl potrzbujacego

zadanie 1
Wiadomo, ze cos(x+ \(\pi )\)= \(\frac{ \sqrt{3} }{3}\) . wyznacz tg(x+ \(\frac{\pi }{6}\) ), jesli wiadomo, ze x \(\in\) (0, \(\pi\) ). wynik przedstaw w postaci ulamka o wymiernym mianowniku.

zadanie 2
wiadomo, ze sin(x+ \(\pi\) )= \(\frac{2}{3}\) i cosx>0. wyznacz cos(x- \(\frac{\pi }{3}\)) .

zadanie 3
Dany jest ciag(an) o wyrazie ogolnym an=sin n \(\pi\) +cos n \(\pi\) . wykaz ze ciag (an) ma tylko dwie wartosci.

Dziekuje z gory za pomoc

[irena]

1.
\(x \in (0;\ \pi)\\cos(x+\pi)=-cos\pi\\cos(x+\pi)=\frac{\sqrt{3}}{3}\\cosx=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\(cosx<0 \wedge x \in (0;\pi)) \Rightarrow x \in (\frac{\pi}{2};\pi) \Rightarrow sinx>0\\sin^2x=1-cos^2x\\sin^2x=1-\frac{1}{3}\\sinx=\frac{\sqrt{6}}{3}\\tgx=\frac{sinx}{cosx}\\tgx=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=-\sqrt{2}\)

\(tg(x+\frac{\pi}{6})=\frac{tgx+tg\frac{\pi}{6}}{1-tgx\cdot\ tg\frac{\pi}{6}}\\tg(x+\frac{\pi}{6})=\frac{-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-(-\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=\\=\frac{-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{6}}{3}}=\\=\frac{\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{6}}{3}}=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3+\sqrt{6}}\cdot\frac{3-\sqrt{6}}{3-\sqrt{6}}=\\=\frac{-9\sqrt{2}+3\sqrt{12}+3\sqrt{3}-\sqrt{18}}{9-6}=\frac{-9\sqrt{2}+6\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{3}=\frac{-12\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{3}=-4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\)

[irena]

2.
\(sin(x+\pi)=\frac{2}{3}\\sin(x+\pi)=sinx\\(sinx=\frac{2}{3}>0\ \wedge cosx>0) \Rightarrow x \in (0;\ \frac{\pi}{2})\\cos^2x=1-sin^2x\\cos^2x=\frac{5}{9}\\cosx=\frac{\sqrt{5}}{3}\\cos(x-\frac{\pi}{3})=cox\cdot\ cos\frac{\pi}{3}+six\cdot\ sin\frac{\pi}{3}=\\=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{6}\)

[irena]

3.
\(sinn\pi=0\) dla każdej liczby \(n \in N^+\)

\(cosn\pi= \begin{cases}1\ dla\ n=2k;\ k \in N^+\\-1\ dla\ n=2k-1;\ k \in N^+ \end{cases}\)

\(a_n= \begin{cases}0+1=1\ dla\ n=2k;\ k \in N^+\\0-1=-1\ dla\ n=2k-1;\ k \in N^+ \end{cases}\)
Czyli ciąg \(a_n\) ma tylko dwie wartości: 1 dla wyrazów o parzystych numerach; -1 dla wyrazów o nieparzystych numerach.