równoległobok, trójkąt, walec, prostopadłoscian

[Martynka301]

1. W trójkącie równoramiennym kąt C między ramionami ma miarę 120 stopni. Trójkąt ten przekształcono przez jednokładność w skali k=2 względem wierzchołka C. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC, jeżeli |A'B'|=8.
2. Przekątna prostopadłościanu ma długość \(2 \sqrt{2}\) cm i tworzy z wysokością kat 45 stopni. Jeden z boków podstawy ma długość 1 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.
3. Równoległobok o bokach długości a i 2a oraz kącie ostrym \(\alpha\) obraca się dookoła dłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły. Wykonaj obliczenia dla a=3 i \(\alpha =60^ \circ\).
4. Powierzchnia boczna walca po rozcięciu i rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość \(\sqrt{3}\) i tworzy z dłuższym bokiem kąt 30 stopni. Oblicz objętość tego walca.
5. Znajdź związek pomiędzy długością x boku trójkąta równobocznego a długością R promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku 8 cm.

[Martynka301]

kto pomoże??

[Galen]

Zad.1
Skala k=2,czyli |A'B'|=2|AB|
\(2|AB|=8\;\;\;to\;\;\;\;|AB|=4\)
Kąt rozwarty trójkąta równoramiennego ma 120 stopni.
Narysuj wysokość z wierzchołka C.
Powstały dwa trójkąty prostokątne o kątach ostrych 60 i 30 stopni.
\(tg30^o= \frac{h}{2}\\
\frac{ \sqrt{3} }{3}= \frac{h}{2}\\
h= \frac{2 \sqrt{3} }{3}\\
P_{ABC}= \frac{1}{2}|AB|h= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2 \sqrt{3} }{3}= \frac{4 \sqrt{3} }{3}\)

Obwód:
\(h^2+2^2=|BC|^2\\
(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2+4=b^2\\
b^2= \frac{12}{9}+4= \frac{16}{3}\\
b= \frac{4}{ \sqrt{3} }= \frac{4 \sqrt{3} }{3} \\
Obw.=|AB|+2|BC|=8+2 \cdot \frac{4 \sqrt{3} }{3}=8+ \frac{8 \sqrt{3} }{3}\)

[Galen]

Zad.5
Promień R okręgu opisanego na trójkącie równobocznym równy jest 2/3 wysokości tego trójkata.
Jeśli długość boku trójkąta oznaczysz x,to wysokość h wyrazi się wzorem
\(h= \frac{x \sqrt{3} }{2}\\
R= \frac{2}{3}h= \frac{2}{3} \cdot \frac{x \sqrt{3} }{2}= \frac{x \sqrt{3} }{3}\\
Dla\;x=8\\
R= \frac{8 \sqrt{3} }{3}\)

[Galen]

Zad.4
Oblicz wymiary prostokąta o danej przekątnej i danym kącie między przekątną i bokiem.
\(sin30^o= \frac{b}{ \sqrt{3} }\\
\frac{b}{ \sqrt{3} }= \frac{1}{2}\\
b= \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
cos30^o= \frac{a}{ \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
a= \frac{9}{2}=4,5\)
Teraz masz dwie możliwości :a to obwód koła w podstawie walca i b to wysokość walca
albo
b to obwód podstawy i a to wysokość.
I możliwość:
\(a=2\pi r\\
2\pi r= \frac{9}{2}\;\;\; \So \;\;\;r= \frac{9}{4\pi}\;\;\;\;\;\;H= \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
V=\pi r^2 H=\pi \cdot ( \frac{9}{4\pi} )^2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{81 \sqrt{3} }{32\pi}\)
II możliwość:
\(2\pi r= \frac{ \sqrt{3} }{2}\;\;\; \So \;\;\;\;r= \frac{ \sqrt{3} }{4\pi}\;\;\;\;\;\;H= \frac{9}{2}\)
Podstaw do wzoru na objętość V i policz.

[josselyn]

\(2\\
d=2 \sqrt{2}\\
h=p\\
d=h \sqrt{2}\\
h=2\\
p=2\\
a=1\\
a^2+b^2=p^2\\
1+b^2=4\\
b= \sqrt{3} \\p_b=2(a+b)h=4(1+ \sqrt{3})\\
V=abh=2 \sqrt{3}\)

[josselyn]

\(3\\
V= \pi r^2h\\
h=2a\\
sin \alpha = \frac{r}{a}\\
r=asin \alpha \\
V= \pi a^2sin^2 \alpha \cdot 2a
V=40,5 \pi\)