Zbadaj wzajemne położenie prostych

[lucas89]

Witam, mam takie zadanie: Zbadaj położenie prostych:

l1 : x = 2-t, y = 3+2t, z = -3t

l2: x = -3 + 2t, y = 1+2t, z = -3

Znajdź równanie normalne ich wspólnej płaszczyzny(jeżeli istnieje)



Mam problem z tym zadaniem bo nie wiem co po kolei robić, i jak znaleźć to równanie normalne. Z góry dzięki za pomoc.

[Panko]

\(\)W drugiej części zadania jest podpowiedź.
Badamy czy proste \(l_1,l_2\) , zadane parametrycznie leżą w jednej płaszczynie
Ogólnie
proste \(l_1,l_2\) , o równaniach parametrycznych
\(l_1:\)\(\\)\(x=x_1+l_1t,y=y_1+m_1t,z=z_1+n_1t\)
\(l_2:\)\(\\)\(x=x_2+l_2\lambda,y=y_2+m_2\lambda,z=z_2+n_2\lambda\)
leżą w jednej płaszczyźnie \(\iff\)\(\begin{vmatrix}x_2-x_1 &y_2-y_1& z_2-z_1 \\ l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2 \end{vmatrix}=0\)

Nastepujący wyznacznik musi być równy 0 aby proste leżały w jednej płaszczyźnie
\(\begin{vmatrix}-3-2 &1-3& -3-0\\ -1&2&-3\\2&2&0 \end{vmatrix}=0\) , sprawdź!
Proste \(l_1, l_2\) \(\\) są współpłaszczyznowe
Wyznaczamy wektor normalny tej płaszczyzny
Wektory kierunkowe prostych \(l_1,l_2\) \(\\)\(n_1=[-1,2,-3],n_2=[2,2,0]\)
wektor normalny \(\vec{n}= \begin{vmatrix}i& j&k \\ -1&2&-3\\2&2&0\end{vmatrix}=6i-6j-6k=[6,-6,-6]\)
Płaszczyzna w której są zawarte : \(6x-6y-6z+D=0\)
Proste przecinają się w punkcie : \(2-t=-3+2\lambda \wedge 3+2t=1+2\lambda \wedge -3t=-3\)\(\So t=1, \lambda=2\) \(\\)\((x_o,y_o,z_o)=(1,5,-3)\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny : \(6*1-6*5-6*(-3)+D=0\)\(\So D=6\)
Równanie płaszczyzny : \(6x-6y-6z+6=0 \So x-y-z+1=0\)