ostrosłup, prostopałościan

[Martynka301]

1. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym długość krawędzi bocznej wynosi 3 cm, a kąt między krawędzią boczną i wysokością ostrosłupa ma miarę 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
2. Przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratowej ma długość 5 i tworzy z płaszczyzną podstawy kat 30 stopni. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość prostopadłościanu.

[radagast]

1.

ScreenHunter_718.jpg (11.9 KiB) Przejrzano 2420 razy

z trójkąta AOS (który jest trójkątem 30,60,90)
mamy:
\(h= \frac{3 \sqrt{3} }{2}\)
oraz \(\frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{3}{2}\) czyli \(a= \frac{3 \sqrt{3} }{2}\)
objętość policzymy podstawiając do wzoru: \(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h\).
W celu policzenia powierzchni bocznej należy wyznaczyć H. Proponuję żebyś spróbowała sama. W razie kłopotów melduj.

[Martynka301]

kto pomoże w zadaniu 2?

[eresh]

2. Przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratowej ma długość 5 i tworzy z płaszczyzną podstawy kat 30 stopni. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość prostopadłościanu.

bryla.jpg (11.49 KiB) Przejrzano 2408 razy

D - przekątna graniastosłupa
a - krawędź podstawy
d - przekątna podstawy
H - wysokość graniastosłupa

\(D=5\\
\alpha =30^{\circ}\\\)
\(H=0,5D\) (trójkąt \(30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)
\(H=0,5\cdot 5=2,5\)

z twierdzenia Pitagorasa:
\(d^2+H^2=D^2\\
d^2+2,5^2=5^2\\
d^2+6,25=25\\
d^2=\frac{75}{4}\\
d=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)

d to przekątna kwadratu, więc
\(d=a\sqrt{2}\\
\frac{5\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{2}\\
a=\frac{5\sqrt{6}}{4}\)

\(P_b=4\cdot a\cdot H\\
P=4\cdot \frac{5\sqrt{6}}{4}\cdot 2,5=\frac{25\sqrt{6}}{2}\\
V=a^2H\\
V=\frac{25\cdot 6}{16}\cdot 2,5=\frac{25\sqrt{6}}{8}\)