Zbieżność szeregu 1/nlnn
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Przemo10
- Stały bywalec
- Posty: 631
- Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 218 razy
- Płeć:
Rozwiązanie
Korzystamy z kryterium zagęszczania:
Jeśli \(\left( a_n\right)\) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi \(\sum_{n=1}^{ \infty } a_n\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty } b_n\) ,gdzie \(b_n=2^n a_{2^n}\) są albo jednocześnie zbieżne , albo jednocześnie rozbieżne.
Niech \(a_n= \frac{1}{n \ln n}\)
Sprawdzamy monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n \ln n} {\left (n+1 \right) \ln { \left(n+1 \right) }} < 1\).
Zatem \(a_n\)malejący.
Wyznaczamy ciąg \(b_n=2^n a_{2^n}= 2^n \frac{1}{ n \ln 2^n}=2^n \frac{1}{ n 2^n \ln 2}= \frac{1}{ n \ln 2}\)
Oczywiście szrereg \(b_n= \frac{1}{n \ln 2}\) jest rozbieżny , zatem na mocy powyższego kryterium dostajemy rozbieżność szeregu \(a_n\)
Jeśli \(\left( a_n\right)\) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi \(\sum_{n=1}^{ \infty } a_n\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty } b_n\) ,gdzie \(b_n=2^n a_{2^n}\) są albo jednocześnie zbieżne , albo jednocześnie rozbieżne.
Niech \(a_n= \frac{1}{n \ln n}\)
Sprawdzamy monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n \ln n} {\left (n+1 \right) \ln { \left(n+1 \right) }} < 1\).
Zatem \(a_n\)malejący.
Wyznaczamy ciąg \(b_n=2^n a_{2^n}= 2^n \frac{1}{ n \ln 2^n}=2^n \frac{1}{ n 2^n \ln 2}= \frac{1}{ n \ln 2}\)
Oczywiście szrereg \(b_n= \frac{1}{n \ln 2}\) jest rozbieżny , zatem na mocy powyższego kryterium dostajemy rozbieżność szeregu \(a_n\)
Odpowiedź: Rozbieżny
-
Przemo10
- Stały bywalec
- Posty: 631
- Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 218 razy
- Płeć:
Klon 1 rozwiązanie
Korzystamy z kryterium zagęszczania:
Jeśli \(\left( a_n\right)\) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi \(\sum_{n=1}^{ \infty } a_n\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty } b_n\) ,gdzie \(b_n=2^n a_{2^n}\) są albo jednocześnie zbieżne , albo jednocześnie rozbieżne.
Niech \(a_n= \frac{1}{n \ln n^8}=\frac{1}{8n \ln n}\)
Sprawdzamy monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{8n \ln n} {8\left (n+1 \right) \ln { \left(n+1 \right) }} < 1\).
Zatem \(a_n\)malejący.
Wyznaczamy ciąg \(b_n=2^n a_{2^n}= 2^n \frac{1}{8 n \ln 2^n}=2^n \frac{1}{ 8n 2^n \ln 2}= \frac{1}{8 n \ln 2}\)
Oczywiście szrereg \(b_n= \frac{1}{8n \ln 2}\) jest rozbieżny , zatem na mocy powyższego kryterium dostajemy rozbieżność szeregu \(a_n\)
Jeśli \(\left( a_n\right)\) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi \(\sum_{n=1}^{ \infty } a_n\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty } b_n\) ,gdzie \(b_n=2^n a_{2^n}\) są albo jednocześnie zbieżne , albo jednocześnie rozbieżne.
Niech \(a_n= \frac{1}{n \ln n^8}=\frac{1}{8n \ln n}\)
Sprawdzamy monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{8n \ln n} {8\left (n+1 \right) \ln { \left(n+1 \right) }} < 1\).
Zatem \(a_n\)malejący.
Wyznaczamy ciąg \(b_n=2^n a_{2^n}= 2^n \frac{1}{8 n \ln 2^n}=2^n \frac{1}{ 8n 2^n \ln 2}= \frac{1}{8 n \ln 2}\)
Oczywiście szrereg \(b_n= \frac{1}{8n \ln 2}\) jest rozbieżny , zatem na mocy powyższego kryterium dostajemy rozbieżność szeregu \(a_n\)
Odpowiedź: Rozbieżny