Oblicz (i-\sqrt{3})^{30}
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1861
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1861
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Zamieniamy liczbę \(z=i-\sqrt{3}\) na postać trygonometryczną.
\[|z|=\sqrt{1+3}=2\\
\begin{cases}\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin\alpha=\frac{1}{2} \end{cases}\quad\So\quad\alpha=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\
z=2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\] Zatem na mocy wzoru de Moivre'a mamy \[z^{30}=2^{30}\left(\cos 30\cdot \frac{5\pi}{6}+i\sin30\cdot \frac{5\pi}{6}\right)=2^{30}(\cos 25\pi+i\sin 25\pi)=-2^{30}.\]
\begin{cases}\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin\alpha=\frac{1}{2} \end{cases}\quad\So\quad\alpha=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\
z=2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\] Zatem na mocy wzoru de Moivre'a mamy \[z^{30}=2^{30}\left(\cos 30\cdot \frac{5\pi}{6}+i\sin30\cdot \frac{5\pi}{6}\right)=2^{30}(\cos 25\pi+i\sin 25\pi)=-2^{30}.\]
Odpowiedź: \(-2^{30}\)
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1861
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1861
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie - klon 1
Zamieniamy liczbę \(z=1-\sqrt{3}i\) na postać trygonometryczną.
\[|z|=\sqrt{1+3}=2\\
\begin{cases}\cos \alpha=\frac{1}{2}\\ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\quad\So\quad\alpha=-\frac{\pi}{3}\\
z=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\] Zatem na mocy wzoru de Moivre'a mamy \[z^{30}=2^{30}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\cdot 30\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\cdot 30\right)\right)=2^{30}(\cos (-10\pi)+i\sin (-10\pi))=2^{30}.\]
\begin{cases}\cos \alpha=\frac{1}{2}\\ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\quad\So\quad\alpha=-\frac{\pi}{3}\\
z=2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\] Zatem na mocy wzoru de Moivre'a mamy \[z^{30}=2^{30}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\cdot 30\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\cdot 30\right)\right)=2^{30}(\cos (-10\pi)+i\sin (-10\pi))=2^{30}.\]
Odpowiedź: \(2^{30}\)