Oblicz sqrt[3]{i}

[supergolonka]

Oblicz \(\sqrt[3]{i}\).

[supergolonka]

Zapisujemy \(i\) w postaci trygonometrycznej. \[z=i=0+i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.\] Zatem szukany pierwiastek składa się z trzech liczb. \[z_0=\cos\frac{\frac{\pi}{2}+0}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+0}{3}=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\\
z_1=\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\\
z_2=\cos\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=\cos \left(2\pi-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(2\pi-\frac{\pi}{2}\right)=0-i=-i\]

Odpowiedź: \(\left\{-i,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right\}\)

[supergolonka]

Oblicz \(\sqrt[3]{-i}\).

[supergolonka]

Zapisujemy \(-i\) w postaci trygonometrycznej. \[z=-i=0-i=\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right).\] Zatem szukany pierwiastek składa się z trzech liczb. \[z_0=\cos\frac{-\frac{\pi}{2}+0}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}+0}{3}=\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\\
z_1=\cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=0+i=i\\
z_2=\cos\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}=\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i.\]

Odpowiedź: \(\left\{i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right\}\)