Najmniejszy obwód prostokąta - ekstremum funkcji wymiernej

Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1704
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 21 razy
Płeć:

Najmniejszy obwód prostokąta - ekstremum funkcji wymiernej

Post autor: supergolonka » 14 gru 2013, 21:00

Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 9.

Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1704
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 21 razy
Płeć:

Rozwiązanie

Post autor: supergolonka » 14 gru 2013, 21:04

Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez \(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość \(\frac{9}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem \[f(x)=2x+\frac{18}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\] Liczymy pochodną \[f'(x)=2-\frac{18}{x^2}=\frac{2x^2-18}{x^2}=\frac{2(x-3)(x+3)}{x^2}.\] Widać teraz, że funkcja \(f\) maleje w przedziale \((0,3\rangle\) i rośnie w przedziale \(\langle 3,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=3\) i wartość ta jest równa \[f(3)=6+6=12.\]

Odpowiedź: 12


Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1704
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 21 razy
Płeć:

Klon 1

Post autor: supergolonka » 14 gru 2013, 21:06

Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 4.

Awatar użytkownika
supergolonka
Moderator
Moderator
Posty: 1704
Rejestracja: 06 mar 2008, 11:53
Otrzymane podziękowania: 21 razy
Płeć:

Rozwiązanie - klon 1

Post autor: supergolonka » 14 gru 2013, 21:08

Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez \(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość \(\frac{4}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem \[f(x)=2x+\frac{8}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\] Liczymy pochodną \[f'(x)=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.\] Widać teraz, że funkcja \(f\) maleje w przedziale \((0,2\rangle\) i rośnie w przedziale \(\langle 2,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=2\) i wartość ta jest równa \[f(2)=4+4=8.\]

Odpowiedź: 8