Najmniejszy obwód prostokąta - ekstremum funkcji wymiernej

[supergolonka]

Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 9.

[supergolonka]

Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez \(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość \(\frac{9}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem \[f(x)=2x+\frac{18}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\] Liczymy pochodną \[f'(x)=2-\frac{18}{x^2}=\frac{2x^2-18}{x^2}=\frac{2(x-3)(x+3)}{x^2}.\] Widać teraz, że funkcja \(f\) maleje w przedziale \((0,3\rangle\) i rośnie w przedziale \(\langle 3,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=3\) i wartość ta jest równa \[f(3)=6+6=12.\]

Odpowiedź: 12

[supergolonka]

Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 4.

[supergolonka]

Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez \(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość \(\frac{4}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem \[f(x)=2x+\frac{8}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\] Liczymy pochodną \[f'(x)=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.\] Widać teraz, że funkcja \(f\) maleje w przedziale \((0,2\rangle\) i rośnie w przedziale \(\langle 2,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=2\) i wartość ta jest równa \[f(2)=4+4=8.\]

Odpowiedź: 8