Wykaż, że jeżeli\(A, B/subset \ Omega oraz P(A)= \frac{1}{4} i P(B)= \frac{1}{3} to \frac{1}{3} \le P(A \cup B) \le \frac{7}{12} i P(B-A) \ge \frac{1}{12}\)
Ma byc naezy do omegi, tylko nie wiem jak to zapisac;/
dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\((P(A \cup B) \ge P(A) \Rightarrow P(A \cup B) \ge \frac{1}{4}\ \wedge \ P(A \cup B) \ge P(B) \Rightarrow P(A \cup B) \ge \frac{1}{3})\ \Leftrightarrow P(A \cup B) \ge \frac{1}{3}\\P(A \cup B) \le P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}\)
Stąd:
\(\frac{1}{3} \le P(A \cup B) \le \frac{7}{12}\)
\(B=(B \setminus A) \cup (A \cap B)\ \wedge ((B \setminus A) \cap (A \cap B)= \emptyset ) \Rightarrow P(B)=P(B \setminus A)+P(A \cap B) \Rightarrow \\ \Rightarrow P(B \setminus A)=P(B)-P(A \cap B)\\(P(A \cap B) \le P(A)=\frac{1}{4}) \wedge (P(A \cap B) \le P(B)=\frac{1}{3}) \Leftrightarrow( P(A \cap B) \le \frac{1}{4}) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P(B \setminus A) \ge P(B)-P(A)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\)
Stąd:
\(\frac{1}{3} \le P(A \cup B) \le \frac{7}{12}\)
\(B=(B \setminus A) \cup (A \cap B)\ \wedge ((B \setminus A) \cap (A \cap B)= \emptyset ) \Rightarrow P(B)=P(B \setminus A)+P(A \cap B) \Rightarrow \\ \Rightarrow P(B \setminus A)=P(B)-P(A \cap B)\\(P(A \cap B) \le P(A)=\frac{1}{4}) \wedge (P(A \cap B) \le P(B)=\frac{1}{3}) \Leftrightarrow( P(A \cap B) \le \frac{1}{4}) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow P(B \setminus A) \ge P(B)-P(A)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\)