funkcja f nie jest ciągła

[dzoannam89]

Mam daną funkcję:
a)f:\(R \to R: f(x)=[x]\) dla \(x \in R\)
b)\(f:R \to R: f(x)=1-x^2\) dla \(x>0, f(x)=x^2,\) dla \(x \le 0\)
c)\(f:R \to R: f(x)=sin \frac{1}{x}\) dla\(x \neq 0\) oraz \(f(0)=0\)
d)\(f:R^2 \to R: f(x,y)=x\) dla \(x>0, y \in R , f(x,y)=y,\) dla \(x \le 0, y \in R\)
i mam korzystają z definicji otoczenia typu \(\epsilon -\delta\)oraz ciągowej wykazać, że funkcja f nie jest ciągła.A także wskazać zbiór otwarty G taki, że \(f^-1(G)\) nie jest otwarty.Proszę o pomoc:(

Takie mam warunki na równoważność funkcji ciągłej:
1.Dla każdego otoczenia U punktu f(a) istnieje otoczenie V punktu a takie, że f(V)=U.
2.∀ε>0∃δ>0f(Kδ(a))⊂Kεf(a)
3.∀ε>0∃δ>0∀x∈XdX(x,a)<δ⇒dY(f(x),f(a))<ε
4.Dla każdego ciągu (xn)n∈N elementów X mamy xn→a⇒f(xn)→f(a).

[octahedron]

\(c)\,k\in\mathbb{Z}\\
k>{\large\frac{1}{\pi\epsilon}-\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,\left|{\large\frac{2}{(2k+1)\pi}}-0\right|<\epsilon\\
\left|f\left({\large\frac{2}{(2k+1)\pi}}\right)-f(0)\right|=\left|\sin(2k+1)\pi\right|=1=\delta\\
x_n=\frac{2}{n\pi}\,\Rightarrow\,\begin{cases}\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0\\\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)\text{ nie istnieje}\end{cases}\\
G=(-1,1)\\
f^{-1}(G)=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k=1}^\infty\left\{\large-\frac{2}{(2k+1)\pi},\frac{2}{(2k+1)\pi}\right\}\)
Mamy \(0\in f^{-1}(G)\), ale w dowolnym otoczeniu zera \((-\epsilon,\epsilon)\) jest jakaś liczba \(\large\frac{2}{(2k+1)\pi}\), zatem \(f^{-1}(G)\) nie jest otwarty

[octahedron]

\(d)\,y\ne 0\\
|y|>\epsilon>0\\
d\left(\left(\frac{1}{2}\epsilon,y\right),\left(0,y\right)\right)=\frac{1}{2}\epsilon<\epsilon\\
\left|f\left(\frac{1}{2}\epsilon,y\right)-f\left(0,y\right)\right|=\left|\frac{1}{2}\epsilon-y\right|\ge\left|\frac{1}{2}\epsilon-|y|\right|>\frac{1}{2}|y|=\delta\\\)
Funkcja jest więc nieciągła na osi \(Y\) oprócz punktu \((0,0)\).

\(y\ne 0\\
(x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n},y\right)\,\Rightarrow\,\begin{cases}\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,y)\\\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\ne y=f(0,y)\end{cases}\\
G=(1,2)\\
f^{-1}(G)=\left((1,2)\times(-\infty,\infty)\right)\cup\left((-\infty,0]\times(1,2)\right)\)