Wykazanie z topologii 2

[dzoannam89]

Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej \(X, a \in X\) ustalonym punktem. Wykaż, że : \(a \in \partial A \Leftrightarrow \forall r>0, K_r(a) \cap A \neq \emptyset, K_r(a) \cap (X \setminus A) \neq \emptyset\).

[octahedron]

Z definicji \(\partial A=\overline{A}\cap\overline{(X\setminus A)}\), mamy też \(X\setminus\overline{A}=int(X\setminus A)\) i \(X\setminus\overline{(X\setminus A)}=int A\), zatem \(X\) jest sumą rozłącznych zbiorów: \(X=int A\cup\partial A\cup int(X\setminus A)\).
\(\exists r>0\ K_r(a)\cap A=\emptyset\,\Rightarrow K_r(a)\subset (X\setminus A)\,\Rightarrow a\in int(X\setminus A)\\
\exists r>0\ K_r(a)\cap (X\setminus A)=\emptyset\,\Rightarrow K_r(a)\subset A\,\Rightarrow a\in int A\)
stąd wynika:
\(a \in \partial A \Rightarrow \forall r>0\, K_r(a) \cap A \neq \emptyset\,\wedge\, K_r(a) \cap (X \setminus A) \neq \emptyset\)
W drugą stronę:
\(\forall r>0\, K_r(a) \cap A \neq \emptyset\,\wedge\, K_r(a) \cap (X \setminus A) \neq \emptyset\,\Rightarrow K_r(a)\not\subset int(X\setminus A)\,\wedge\,K_r(a)\not\subset int A\)
czyli:
\(\forall r>0\, K_r(a) \cap A \neq \emptyset\,\wedge\, K_r(a) \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \Rightarrow a \in \partial A\)

[dzoannam89]

Mam dwa pytania odnośnie tego w którą stronę jest pierwszy dowód w => czy <= ?
I czy jest możliwe zobaczenie tego rysunkowo??:)

[octahedron]

Pierwszy jest w \(\Rightarrow\), pisze w szóstej linii. A rysunkowo jak? To może być dowolna przestrzeń i dowolne zbiory.