Równania trygonometryczne.

[lukasz037]

1)sin(\(\frac{\pi}{2}\)-2)=cos(\(\pi\)-x)

2)six-cosx=1

3)\(cos^2\)7x=\(\frac{3}{4}\)

Prosze o pomoc w rozwiazaniu tych zadan. Z gory dzieki

[artuditus]

1)\(sin \frac{ \pi }{2} \cdot cos2-cos \frac{ \pi }{2} \cdot sin2=cos \pi cosx-sin \pi sinx\)
\(\frac{1}{2}cos2- \sqrt{3}sin2=-cosx \Leftrightarrow x=arccos (\sqrt{3}sin2- \frac{1}{2}cos2)\)

[radagast]

2)six-cosx=1

\(six-cosx=1\)

\(sinx-sin( \frac{ \pi }{2}-x) =1\)

\(2cos \frac{ \pi }{4}sin(x- \frac{ \pi }{4} ) =1\)
\(\sqrt{2} sin(x- \frac{ \pi }{4} ) =1\)
\(sin(x- \frac{ \pi }{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}\)
\(sin(x- \frac{ \pi }{4} ) =sin \frac{ \pi }{4}\)
\(x- \frac{ \pi }{4}=\frac{ \pi }{4}+2k \pi \vee x- \frac{ \pi }{4}= \pi -\frac{ \pi }{4}+2k \pi\)
\(x=\frac{ \pi }{2}+2k \pi \vee x= \pi +2k \pi\)

[radagast]

3)\(cos^2\)7x=\(\frac{3}{4}\)

\(cos^27x=\frac{3}{4}\)
\(cos^27x-\frac{3}{4}=0\)
\((cos7x-\frac{ \sqrt{3} }{2})(cos7x+\frac{ \sqrt{3} }{2})=0\)
\(cos7x=cos \frac{ \pi }{6} \vee cos7x=-cos \frac{ \pi }{6}\)
\(cos7x=cos \frac{ \pi }{6} \vee cos7x=cos ( \pi - \frac{ \pi }{6})\)
\(7x= \frac{ \pi }{6}+2k\pi \vee 7x= -\frac{ \pi }{6}+2k\pi \vee 7x= \frac{5 \pi }{6}+2k\pi \vee 7x= -\frac{5 \pi }{6}+2k\pi\)
\(x= \frac{ \pi }{42}+ \frac{2k\pi }{7} \vee x= -\frac{ \pi }{42}+\frac{2k\pi }{7} \vee x= \frac{5 \pi }{42}+\frac{2k\pi }{7} \vee x= -\frac{5 \pi }{42}+\frac{2k\pi }{7}\)
\(x= \frac{ \pi }{42}+ \frac{2k\pi }{7} \vee x= \frac{ 5\pi }{42}+\frac{(2k-1)\pi }{7} \vee x= \frac{5 \pi }{42}+\frac{2k\pi }{7} \vee x= \frac{\pi }{42}+\frac{(2k-1)\pi }{7}\)

[Galen]

Zad.1
\(sin(\frac{\pi}{2}-2)=cos(\pi-x)\)
Zastosuj wzory redukcyjne:
\(sin(90^o-x)=cosx\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;cos(180^o-x)=-cosx\)
Równanie ma postać:
\(cos2=-cosx\\
cos2-cosx=0\\
2cos(\frac{2+x}{2})\cdot cos(\frac{2-x}{2})=0\\
cos(\frac{2+x}{2})=0\;\;\;lub\;\;\;cos(\frac{2-x}{2})=0\\
\frac{2+x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;lub\;\;\;\frac{2-x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
Wyliczasz x
\(2+x=\pi+2k\pi\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;2-x=\pi+2k\pi\\x=\pi-2+2k\pi\;\;\;\;lub\;\;\;x=2-\pi-2k\pi\;\;\;\;i\;\;k\in C\)

Liczbę \((-2k\pi)\) można zastąpić liczbą \(+2k\pi\) ,bo k jest liczbą całkowitą dodatnią oraz ujemną,to skutki
rachunkowe są tożsame.