Równanie z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
wieczorek91
- Rozkręcam się
- Posty: 53
- Rejestracja: 23 sty 2010, 15:23
Równanie z parametrem
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: \(x^3-12x = m\) ma trzy różne pierwiastki.
Trzeba naszkicować wykres funkcji \(f(x)=x^3-12x\) i zbadać ilość wspólnych punktów z prostą o równaniu y=m, w zależności od m.
\(f(x)=0 \Leftrightarrow x^3-12x=0 \Leftrightarrow x(x^2-12)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x^2=12 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=0 \vee x=2\sqrt{3} \vee x=-2\sqrt{3}\)
\(f'(x)=3x^2-12\\f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2=12 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=2\)
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow 3x^2-12>0 \Leftrightarrow x^2>4 \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -2) \cup (2;\ \infty )\)
\(f'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (-2;\ 2)\).
Czyli:
- dla x=-2 funkcja przyjmuje maksimum lokalne f(-2)=16
- dla x=2 funkcja przyjmuje minimum lokalne f(2)=-16.
Funkcja przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.
Dla:
- \(m \in (- \infty ; -16) \cup (16; \infty )\) wykres funkcji f(x) ma z prostą y=m jeden punkt wspólny. (Czyli równanie z treści zadania ma jedno rozwiązanie)
- \(m=-16 \vee m=16\) ma z tą prosta dwa wspólne punkty (czyli równanie ma 2 rozwiązania)
- \(m \in (-16;\ 16)\) ma z prostą 3 punkty wspólne (równanie ma 3 rozwiązania).
\(f(x)=0 \Leftrightarrow x^3-12x=0 \Leftrightarrow x(x^2-12)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x^2=12 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=0 \vee x=2\sqrt{3} \vee x=-2\sqrt{3}\)
\(f'(x)=3x^2-12\\f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2=12 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=-2 \vee x=2\)
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow 3x^2-12>0 \Leftrightarrow x^2>4 \Leftrightarrow x \in (- \infty ;\ -2) \cup (2;\ \infty )\)
\(f'(x)<0 \Leftrightarrow x \in (-2;\ 2)\).
Czyli:
- dla x=-2 funkcja przyjmuje maksimum lokalne f(-2)=16
- dla x=2 funkcja przyjmuje minimum lokalne f(2)=-16.
Funkcja przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.
Dla:
- \(m \in (- \infty ; -16) \cup (16; \infty )\) wykres funkcji f(x) ma z prostą y=m jeden punkt wspólny. (Czyli równanie z treści zadania ma jedno rozwiązanie)
- \(m=-16 \vee m=16\) ma z tą prosta dwa wspólne punkty (czyli równanie ma 2 rozwiązania)
- \(m \in (-16;\ 16)\) ma z prostą 3 punkty wspólne (równanie ma 3 rozwiązania).