funkcja trygonometryczna

[xxmarcia17xx]

Rozwiąż równanie:
\(sin^4 \frac{x}{2} + cos^4 \frac{x}{2}= \frac{5}{8}\) w przedziale <-pi,pi>

[jola]

\((\sin^2\ \frac{x}{2}+\cos^2\ \frac{x}{2} )^2-2 \cdot \sin^2\ \frac{x}{2} \cdot \cos^2\ \frac{x}{2}= \frac{5}{8}\)

\(1- \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin^2\ \frac{x}{2} \cdot \cos^2\ \frac{x}{2} = \frac{5}{8}\)

\(- \frac{1}{2}(2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2})^2=- \frac{3}{8}\)

\(\sin^2x= \frac{3}{4}\)

\(\sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2}\ \ \ \ \vee \ \ \ \sin x=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \ \ \ \wedge \ \ \ x \in <- \pi ; \pi >\)

\(x \in \{\ \ \frac{ \pi }{3}\ ;\ \frac{2}{3} \pi\ ;\ - \frac{ \pi }{3}\ ;\ - \frac{2}{3} \pi \ \}\)

[Galen]

[sin(x/2)]^4 = {[sin(x/2)]^2}^2 ={1 - [cos(x/2)]^2}^2
Wstawiasz do danego równania i masz jeden rodzaj funkcji,czyli kosinus.
Zmienna pomocnicza t=[cos(x/2)]^2 i t€<0;1>
Równanie ma postać:
(1-t)^2 + t^2 = 5/8
1-2t + 2*t^2 = 5/8
2t^2 - 2t +3/8 = 0
delta=1
t=1/4 lub t= 3/4
Wracasz do niewiadomej [cos(x/2)]....

[Galen]

[sin(x/2)]^4 = {[sin(x/2)]^2}^2 ={1 - [cos(x/2)]^2}^2
Wstawiasz do danego równania i masz jeden rodzaj funkcji,czyli kosinus.
Zmienna pomocnicza t=[cos(x/2)]^2 i t€<0;1>
Równanie ma postać:
(1-t)^2 + t^2 = 5/8
1-2t + 2*t^2 = 5/8
2t^2 - 2t +3/8 = 0
delta=1
t=1/4 lub t= 3/4
Wracasz do niewiadomej [cos(x/2)]....

Otrzymasz x=pi/3 , x=2pi/3, x= -pi/3, x= -2pi/3 w podanym zbiorze.

[xxmarcia17xx]

Galen, rozwiązanie Joli zgadza się z odp;]