wykazanie istnienia ciągu

[agusiaczarna22]

Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X.
Wykaż, że:
\(a \in \partial A \Leftrightarrow\) istnieją ciągi \(\left\{ x_{n} \right\} \subset A\) oraz \(\left\{ y_{n} \right\} \subset X \setminus A\), takie, że \(x_{n} \rightarrow a,\) oraz \(y_{n} \rightarrow a.\)

[octahedron]

Skoro \(a\) należy do brzegu \(A\), to w dowolnej kuli \(K(a,r_n)\) znajduje się element \(x_n\in A\) i element \(y_n\in X\setminus A\). Dla \(r_n\to 0\) mamy \(x_n\to a,\,y_n\to a\)