Wartość bezwzględna - zadanka

[dabia15]

1)Zapisz podane warunki korzystając z definicji wartości bezwzględnej
a) |x+1|=3
b)|2x+6|>4
c)|2x|-|x+5|<8
d)|x-1|>|2x+1|

2)Rozwiąż równania. Dla przykładu c podaj rozwiązanie w zbiorze liczb całkowitych
a)|3x-2|+x=11
b)|x|-|x-2|=2
c)|x-2|=-|x|+2

3)Rozwiąż nierówności
a)2|x+1|>x+4
b)|x+2|-|x|<1
c)|3x-2|+|x|<10

Uprzejmie roszę o pełne rozwiązania krok po kroku. Dziękuję

[patryk00714]

1) a) \(|x+1|=3\)

\(x+1=3 \;\;\ \vee \;\;\ x+1=-3\)

\(x=2 \;\;\ x=-4\)

[patryk00714]

1) b) \(|2x+6|>4\)

\(|x+3|>2\)

\(x \in (-\infty,-5) \cup (-1,+\infty)\)

interpretujemy to jako "odległość na osi liczbowej od -3 jest większa od 2.

[patryk00714]

1) c) \(|2x|-|x+5|<8\)

rozpatrujemy 3 dziedziny:

\(D_1: x \in (-\infty,-5) \;\;\ D_2: <-5,0) \;\;\ D_3: <0,+\infty)\)

\(D_1:\)

\(-2x-(-x-5)<8\)

\(-2x+x+5<8\)

\(-x<3\)

\(x>-3\)

zatem biorąc część wspólną z \(D_1\) mamy \(x \in \emptyset\)

dla \(D_2\)

\(-2x-(x+5)<8\)

\(-3x<13\)

\(x>-\frac{13}{3}\)

mamy więc \(x \in (-\frac{13}{3},0)\)

dla \(D_3\)

mamy \(2x-(x+5)<8\)

\(2x-x-5<8\)

\(x<13\)

stąd \(x \in <0,13)\)

mamy łącznie \(x \in (-\frac{13}{3},13)\)

[patryk00714]

d) \(|x-1|-|2x+1|>0\)

rozpatrujemy 3 dziedziny:

\(D_1: (-\infty,-\frac{1}{2})\)

\(D_2: <-\frac{1}{2},1)\)

\(D_3: <1,+\infty)\)

\(D_1:\)

\(-x+1-(-2x-1)>0\)

\(-x+1+2x+1>0\)

\(x>-2\)

\(x \in (-2,-\frac{1}{2})\)


\(D_2\) mamy \(-x+1-(2x+1)>0\)

\(-3x>0\)

\(x<0\)

\(x \in <-\frac{1}{2},0)\)


i dla \(D_3\)

x-1-(2x+1)>0[/tex]

\(x-1-2x-1>0\)

\(-x>2\)

\(x<-2\)

\(x \in \emptyset\)

reasumując mamy \(x \in (-2,0)\)

[patryk00714]

2) \(|3x-2|+x=11\)

\(|3x-2|=11-x\)

\(x \ge \frac{2}{3}\)

mamy \(3x-2=11-x\)

\(4x=13\)

\(x=\frac{13}{4} \in D\)

\(x<\frac{2}{3}\)

\(-3x+2=11-x\)

\(-9=2x\)

\(x=-\frac{9}{2} \in D\)

[patryk00714]

2 b) \(|x|-|x-2|=2\)

\(D_1: (-\infty,0)\)

\(-x-(-x+2)=2\)

\(-x+x-2=2\)

\(-2=2 \;\;\ \text{sprzecznosc}\)

\(D_2: <0,2)\)

\(x-(-x+2)=2\)

\(2x=4\)

\(x=2 \notin D\)

\(D_3: <2,+\infty)\)

\(x-x+2=2\)

\(2=2\)

zatem \(x \in <2,+\infty)\)

[patryk00714]

2) c) \(|x-2|+|x|=2\)

\(D_1: x \in (-\infty,0)\)

\(-x+2-x=2\)

\(-2x=0\)

\(x=0 \notin D_1\)

\(D_2:<0,2)\)

\(-x+2+x=2\)

\(2=2\)

\(x \in <0,2)\)

\(D_3: <2,+\infty)\)

\(x-2+x=2\)

\(2x=4\)

\(x=2 \in D_3\)

zatem \(x \in <0,2>\)

[patryk00714]

3 podobnie rozbijamy na dziedziny