W trójkącie prostokątnym ABC dane są |AC|=12, |kątCAB|=60stopni. Poprowadzono prostą równoległą do przeciwprostokątnej AB dzielącą bok AC w stosunku 1:5, licząc od wierzchołka C. Prosta ta przecina bok AC w punkcie M, a bok BC w punkcie N. Oblicz pole trapezu ABMN.
obliczyłam długość AM=10
Kto mógłby rozwiązać i wytłumaczyć mi to zadanie?
Z góry dziękuję
trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(\frac{|BC|}{|AC|}=tg60^o\\\frac{|BC|}{12}=\sqrt{3}\\|BC|=12\sqrt{3}\)
\(\frac{|AC|}{|AB|}=cos60^o\\\frac{12}{|AB|}=\frac{1}{2}\\|AB|=2\cdot12\\|AB|=24\)
\(\frac{|BN|}{|AM|}=\frac{|BC|}{|AC|}\\\frac{|BN|}{10}=\frac{12\sqrt{3}}{12}\\|BN|=10\sqrt{3}\)
\(\frac{|CM|}{AC|}=\frac{|MN|}{|AB|}\\\frac{2}{12}=\frac{|MN|}{24}\\|MN|=4\).
Można obliczyć teraz pole trójkąta ABC, pole trójkąta MNC i odjąć.
\(P_{ABC}=\frac{12\cdot12\sqrt{3}}{2}=72\sqrt{3}\)
\(P_{MNC}=\frac{2\cdot2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
Pole trapezu: \(72\sqrt{3}-2\sqrt{3}=70\sqrt{3}\)
A można było od razu:
Trójkąt MNC jest podobny do trójkąta ABC w skali równej \(\frac{1}{6}\), czyli ma pole 36 razy mniejsze od pola trójkąta ABC. Czyli pole trójkąta MNC to \(\frac{1}{36}\) pola trójkąta ABC. To pole trapezu AMBN to \(\frac{35}{36}\) pola trójkąta ABC.
Pole trapezu:
\(\frac{35}{36}\cdot72\sqrt{3}=70\sqrt{3}\)
\(\frac{|AC|}{|AB|}=cos60^o\\\frac{12}{|AB|}=\frac{1}{2}\\|AB|=2\cdot12\\|AB|=24\)
\(\frac{|BN|}{|AM|}=\frac{|BC|}{|AC|}\\\frac{|BN|}{10}=\frac{12\sqrt{3}}{12}\\|BN|=10\sqrt{3}\)
\(\frac{|CM|}{AC|}=\frac{|MN|}{|AB|}\\\frac{2}{12}=\frac{|MN|}{24}\\|MN|=4\).
Można obliczyć teraz pole trójkąta ABC, pole trójkąta MNC i odjąć.
\(P_{ABC}=\frac{12\cdot12\sqrt{3}}{2}=72\sqrt{3}\)
\(P_{MNC}=\frac{2\cdot2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
Pole trapezu: \(72\sqrt{3}-2\sqrt{3}=70\sqrt{3}\)
A można było od razu:
Trójkąt MNC jest podobny do trójkąta ABC w skali równej \(\frac{1}{6}\), czyli ma pole 36 razy mniejsze od pola trójkąta ABC. Czyli pole trójkąta MNC to \(\frac{1}{36}\) pola trójkąta ABC. To pole trapezu AMBN to \(\frac{35}{36}\) pola trójkąta ABC.
Pole trapezu:
\(\frac{35}{36}\cdot72\sqrt{3}=70\sqrt{3}\)