Zbiór wartości

[kaziolo]

Wyznacz zbiór wartości funkcji
\(f(x)= \frac{1}{cos2x+4sin^2x}\)

[kacper218]

Zauważ że
\(\cos 2x=cos^2x-\sin^2x=1-2\sin ^2x\)
Teraz wracamy i w mianowniku mamy
\(g(x)=1+2\sin^2x\)
wyznaczamy zbiór wartości funkcji z mianownika.
Teraz ten zbiór wartości jest dziedziną nowej funkcji \(h(x)=\frac{1}{g(x)}\)
Na końcu już prosto wyznaczamy zbiór wartości funkcji \(h\) i to szukany zbiór wartości.

[octahedron]

\(f(x)=\large\frac{1}{\cos 2x+4\sin^2x}=\frac{1}{1-2\sin^2x+4\sin^2x}=\frac{1}{1+2\sin^2x}\\
\frac{1}{1+2}\le f(x)\le\frac{1}{1+0}\)

[patryk00714]

\(f(x)=\frac{1}{cos^2x-sin^2x+4xin^2x}=\frac{1}{cos^2x+3sin^2x}=\frac{1}{cos^2x+3-3cos^2x}=\frac{1}{3-2cos^2x}\)

\(\frac{1}{3-2 \cdot 0} \le f(x) \le \frac{1}{3-2 \cdot 1}\)