reguła de hospitala

[wesołyRomek]

Wyznacz granicę korzystając z reguły de Hospitala
\(( \frac{tgx}{x} )^{ \frac{1}{x}}\) \(x \to 0^+\)

[kacper218]

W jakim punkcie tę granicę?

[wesołyRomek]

Przepraszam już poprawione

[wesołyRomek]

Jakieś pomysły??

[octahedron]

\(\lim_{x\to 0^+}\ln\(\frac{tg x}{x}\)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln\(\frac{tg x}{x}\)}{x}=^H\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\cos^2x}-tg x}{xtg x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{2x-\sin 2x}{x\sin 2x}=^H\lim_{x\to 0^+}\frac{2-2\cos 2x}{\sin 2x+2x\cos 2x}=^H
=^H\lim_{x\to 0^+}\frac{4\sin 2x}{4\cos 2x-4x\sin 2x}=0
\lim_{x\to 0^+}\(\frac{tg x}{x}\)^{\frac{1}{x}}=e^0=1\)

[wesołyRomek]

Ok, dzięki. Mogę jeszcze zapytać skąd ten logarytm naturalny na początku?

[patryk00714]

\(\left(\frac{tgx}{x} \right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln \left(\frac{tgx}{x} \right)}\)

i octahedron od razu przeszedł do liczenia wykładnika