Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego - zadanie

[alicja403]

Z miasta A do B, oddalonego od A o 140 km, wyjechał rowerzysta, który przez pierwszą godzinę przejechał 10 km, a przez każdą następną o 2 km więcej niż w ciągu godziny poprzedniej. Jednocześnie z miasta B do miasta A wyjechał drugi rowerzysta, który przez pierwszą godzinę przejechał 12 km, a przez każdą następną o 1 km więcej niż w ciągu poprzedniej godziny. Po jakim czasie rowierzyści się spotkali?

Rowerzysta A to tak jakby jeden ciąg:
a1=10
a2=12
r=2
Sn=140
an=10+(n-1)2
an=10+2n-2
an=2n+8
Sn=n(10+2n+8)/2
140=n(10+2n+8)/2
280=10n+2n ^2+8n
0=2n^2+18n-280|:2
0=n^2+9n-140
\Delta =9^2-4*1*(-140)
\Delta =81+560
\Delta =641 \sqrt{\Delta}= \sqrt{641}

dalej nie wychodzi bo delta z tego równania jest liczbą niewymierną
i nie wiem co dalej zrobic, bo gdybym chciała 2 rowerzyste tak samo "potraktowac"
to jest bez sensu ... nie mam pojęcia co dalej i czy wogóle to jest poprawy tok myślenia
Proszę o pomoc

[irena]

Mamy tu dwa ciągi arytmetyczne: ciąg \((a_n)\), w którym \(a_1=10,\ r=2\) i ciąg \((b_n)\), w którym \(b_1=12,\ r'=1\). Rowerzyści jechali tyle samo godzin, więc liczba n w obu ciągach jest taka sama. Trzeba zapisać sumę pierwszego ciągu, sumę drugiego ciągu i te sumy dodać. Wynik to liczba 140. (Bo każda z sum to liczba przejechanych kilometrów przez rowerzystów, a spotkali się gdzieś pomiędzy miastami. Czyli suma ich dróg jest równa 140.

\(a_n=10+(n-1)\cdot2=2n+8\\S_n=\frac{10+2n+8}{2}\cdot\ n=n(n+9)\)

\(b_n=12+(n-1)\cdot1= b+11\\S'_n=\frac{12+n+11}{2}\cdot\ n=\frac{n^2+23n}{2}\)

\(S_n+S'_n=140\\n(n+9)+\frac{n^2+23n}{2}=140\\2n^2+18n+23n+n^2=280\\3n^2+41n-280=0\\\Delta=5041\\\sqrt{\Delta}=71\\n_1=-\frac{56}{3}\ \vee \ n=5\)

Czyli - spotkają się po 5 godzinach.

[alicja403]

dzięki wielkie;D