1. Niech G=grupa, taka że \(\wedge x \in G\) \(x^2=e\). Udowodnij, że grupa G jest grupą abelową.
2. Udowodnić, że zbiór wszystkich liczb pierwszych jest nieskończony.
Niech p=liczba pierwsza. Udowodnić, że \(\left( Z^*p, \cdot p \right)\) jest grupą abelową.
3. Niech Sn-zbiór wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.
Udowodnij, że \(\left( Sn, q \right)\) ze względu na składanie jest grupą ( gdzie q-permutacje) oraz że jeśli n>2 to \(\left( Sn, q \right)\) nie jest grupą abelową.
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań.
Grupa - zadania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
Re: Grupa - zadania
2) standardowy dowod Euklidesa
http://www.kopernik.katowice.pl/files/p ... erwsze.pdf
Nie rozumiem zapisu Twojej grupy, chodzi o \(\mathbb{Z}_{p}\) gdzie p jesli liczba pierwsza??
3) jesli \(n\ge 3\) oraz
\(\alpha=\begin{pmatrix}1&2&3&...\\1&3&2&.. \end{pmatrix}\)
\(\beta=\begin{pmatrix}1&2&3&...\\3&2&1&.. \end{pmatrix}\)
to po zlozeniu mamy
\(\beta\circ \alpha =\begin{pmatrix}1&2&3&...\\3&1&2&.. \end{pmatrix}\)
ale \(\alpha\circ \beta=\begin{pmatrix}1&2&3&...\\2&3&1&.. \end{pmatrix}\)
wiec nie mamy grupy Abelowej.
1) masz na mysli \(\forall\in G\) mamy \(x\cdot x=e\)?
http://www.kopernik.katowice.pl/files/p ... erwsze.pdf
Nie rozumiem zapisu Twojej grupy, chodzi o \(\mathbb{Z}_{p}\) gdzie p jesli liczba pierwsza??
3) jesli \(n\ge 3\) oraz
\(\alpha=\begin{pmatrix}1&2&3&...\\1&3&2&.. \end{pmatrix}\)
\(\beta=\begin{pmatrix}1&2&3&...\\3&2&1&.. \end{pmatrix}\)
to po zlozeniu mamy
\(\beta\circ \alpha =\begin{pmatrix}1&2&3&...\\3&1&2&.. \end{pmatrix}\)
ale \(\alpha\circ \beta=\begin{pmatrix}1&2&3&...\\2&3&1&.. \end{pmatrix}\)
wiec nie mamy grupy Abelowej.
1) masz na mysli \(\forall\in G\) mamy \(x\cdot x=e\)?
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
Re: Grupa - zadania
Zgadza się. Dokładnie to miałam na myśli.rayman pisze:1) masz na mysli \(\forall\in G\) mamy \(x\cdot x=e\)?
W zadaniu mam podane dokładnie tak: Niech p-liczba pierwsza oraz \(\mathbb{Z}_{p}\)=\(\left\{0,1,...,p-1 \right\}\) i \(\mathbb{Z}_{p}^*\)=\(\left\{1,2,...,p-1 \right\}\).rayman pisze:2) Nie rozumiem zapisu Twojej grupy, chodzi o \(\mathbb{Z}_{p}\) gdzie p jesli liczba pierwsza??
a) Udowodnić, że zbiór wszystkich liczb pierwszych jest nieskończony.
b) Udowodnić, że para \(\left(\mathbb{Z}_{p}^*,modulo p \right)\) jest grupą abelową.
Mam nadzieję, że teraz jest już wszystko jasne.
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
do zadania a) odpowiedz juz masz wyzej, to jest banalny dowod.
1) niech \(x,y\in G\) no to mamy \(e=(xy)^2=xyxy\)
mnozymy z lewej strony przez \(x\) i z prawej przez \(y\) i dostajemy
\(xey=x(xyxy)y=x^2yxy^2=yx\) \(\forall x,y\in G\) zatem G jest Abelowa.
1) niech \(x,y\in G\) no to mamy \(e=(xy)^2=xyxy\)
mnozymy z lewej strony przez \(x\) i z prawej przez \(y\) i dostajemy
\(xey=x(xyxy)y=x^2yxy^2=yx\) \(\forall x,y\in G\) zatem G jest Abelowa.
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
b) no tak to jest grupa elementow odwracalnych.
mozna to podejsc w ten sposob: pokaz, ze \(\mathbb{Z}_{p}^{*}\) jest cykliczna \(\forall p\Rightarrow \mathbb{Z}_{p}^{*}\) jest zatem Abelowa
mozna to podejsc w ten sposob: pokaz, ze \(\mathbb{Z}_{p}^{*}\) jest cykliczna \(\forall p\Rightarrow \mathbb{Z}_{p}^{*}\) jest zatem Abelowa
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)