udowodnij

[Natalia50]

wewnątrz trójkąta ABC wybrano dowolny punkt P. Niech M,L,N oznaczaja odpowiednio srodki boków AB, BC, CA. Wykaz ze wektor PA+wektor PB+ wektor PC= wektor PM+ wektor PL + wektor PN.

[irena]

\(A=(a_1,a_2)\\B=(b_1,b_2)\\C=(c_1,c_2)\\M=(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2+c_2}{2})\\N=(\frac{a_1+c_1}{2},\frac{a_2+c_2{2})\\L=(b_1+c_1}{2},\frac{b_2+c_2}{2})\\P=(x,y)\)

\(\vec{PA}=[a_1-x,a_2-y]\\\vec{PB}=[b_1-x,b_2-y]\\\vec{PC}=[c_1-x,c_2-y]\\\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=[a_1+b_1+c_1-3x,a_2+b_2+c_2-3y]\)

\(\vec{PM}=[\frac{a_1+b_1}{2}-x,\frac{a_2+b_2}{2}-y]\\\vec{PN}=[\frac{a_1+c_1}{2}-x,\frac{a_2+c_2}{2}-y]\\\vec{PL}=[\frac{b_1+c_1}{2}-x,\frac{b_2+c_2}{2}-y]\)

\(\vec{PM}+\vec{PN}+\vec{PL}=[\frac{a_1+b_1}{2}-x+\frac{a_1+c_1}{2}-x+\frac{b_1+c_1}{2}-x,\frac{a_2+b_2}{2}-y+\frac{a_2+c_2}{2}-y+\frac{b_2+c_2}{2}-y]=\\=[a_1+b_1+c_1-3x,a_2+b_2+c_2-3y]\)

\(\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{PM}+\vec{PN}+\vec{PL}\)

[Natalia50]

dziękuje;)