Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest równa 35, a suma ich odwrotności to \(\frac{7}{20}\). Oblicz te wyrazy.
proszę o pomoc
suma ciągu geom
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ciąg geometryczny czyli : (1) a + aq +a \(q^2\)=35
więc
\(a(1+q+q^2)=35\)
\(1+q+q^2= \frac{35}{a}\)
drugi warunek zadania mówi, że
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{aq} + \frac{1}{aq^2}= \frac{7}{20}\)
po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy
\(\frac{q^2+q+1}{aq^2}=\frac{7}{20}\)
podstawiając \(1+q+q^2= \frac{35}{a}\) do tego równania
otrzymujemy
\(\frac{\frac{35}{a}}{aq^2}=\frac{7}{20}\)
z proporcji
\(\frac{35*20}{a}=7aq^2\) po przemnożeniu przez \(a\) i podzieleniu obu stron przez 700 mamy
\((aq)^2=100\)
czyli \(aq = 10\) lub \(aq=-10\) - nie może być ujemna więc
\(a = \frac{10}{q}\)
po podstawiniu do równości (1)
\(\frac{10}{q} +10 + 10q = 35 \qquad |\cdot q\)
\(10 + 10q +10q^2 = 35q\)
\(10q^2 -25q +10=0 \qquad |:5\)
\(2q^2 - 5q +2 = 0 \\
\Delta = 9 \\
q=-\frac12 \vee q=2\)
ujemna odpada ponieważ wyrazy ciągu mają być dodatnie
ostatecznie
\(a_1=\frac{10}{2} = 5 \\
a_2 = 10 \\
a_3 = 20\)
jest to mój pierwszy wpis na tym forum więc jakby coś było niejasne to napisz to postaram się wyjaśnić albo poprawić
więc
\(a(1+q+q^2)=35\)
\(1+q+q^2= \frac{35}{a}\)
drugi warunek zadania mówi, że
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{aq} + \frac{1}{aq^2}= \frac{7}{20}\)
po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy
\(\frac{q^2+q+1}{aq^2}=\frac{7}{20}\)
podstawiając \(1+q+q^2= \frac{35}{a}\) do tego równania
otrzymujemy
\(\frac{\frac{35}{a}}{aq^2}=\frac{7}{20}\)
z proporcji
\(\frac{35*20}{a}=7aq^2\) po przemnożeniu przez \(a\) i podzieleniu obu stron przez 700 mamy
\((aq)^2=100\)
czyli \(aq = 10\) lub \(aq=-10\) - nie może być ujemna więc
\(a = \frac{10}{q}\)
po podstawiniu do równości (1)
\(\frac{10}{q} +10 + 10q = 35 \qquad |\cdot q\)
\(10 + 10q +10q^2 = 35q\)
\(10q^2 -25q +10=0 \qquad |:5\)
\(2q^2 - 5q +2 = 0 \\
\Delta = 9 \\
q=-\frac12 \vee q=2\)
ujemna odpada ponieważ wyrazy ciągu mają być dodatnie
ostatecznie
\(a_1=\frac{10}{2} = 5 \\
a_2 = 10 \\
a_3 = 20\)
jest to mój pierwszy wpis na tym forum więc jakby coś było niejasne to napisz to postaram się wyjaśnić albo poprawić