Oblicz granicę ciągu

[denatlu]

Mam jeszcze coś takiego:

\(a_n=n-\sqrt[3]{n^3-n^2}\)

\(\lim_{n \to +\infty} a_n=\lim_{n \to +\infty}( n-\sqrt[3]{n^3-n^2})=\lim_{n \to +\infty} (n-n\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}})=\lim_{n \to +\infty} (n(1-\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}))=
=+ \infty \cdot (1-0)=+ \infty\)

Jest tutaj jakis błąd?

[Szimi10]

Jest błąd, \(\lim_{n\to \infty} \sqrt[3]{1-\frac{1}{n}} = 1\), dalej powstaje symbol nieoznaczony.

Skorzystaj ze wzoru:
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
mnożąc przez sprzężenie.

[Szimi10]

Rozwiązanie.

Spoiler

\(\lim_{n \to +\infty} a_n=\lim_{n \to +\infty}( n-\sqrt[3]{n^3-n^2})=\)

\(\lim_{n \to +\infty}( n-\sqrt[3]{n^3-n^2})\cdot \frac{n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3-n^2}+ \left(n^3-n^2\right)^{\frac{2}{3}}}{n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3-n^2}+ \left(n^3-n^2\right)^{\frac{2}{3}}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^3-n^3+n^2}{n^2+n^2\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}+n^2 \left(\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}\right)^2} = \\ \lim_{n \to +\infty}\frac{{\not {n^2}}^{ \ {\large{1}}}}{\not{n^2} \underbrace {{\left(1+\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}+\left(\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}}\right)^2\right)}}_{\large{1+1+1}}}=\fbox{\Large{\frac{1}{3}}}\)

Pozdrawiam
\(\int\)zymon \(dS\)

[denatlu]

To wyrazenie \(\lim (n-n)=\lim (0)\) tez jest wyrazem nieoznaczonym?

[Przemo10]

Tak.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony

[Szimi10]

\(lim(n-n) = 0\) to granica ciągu stałego równego 0.

[radagast]

\(lim(n-n) = 0\) to granica ciągu stałego równego 0.

... i nie jest "symbolem nieoznaczonym"' ale już takie cudeńko: \(\lim_{n \to +\infty} (n-n\sqrt[3]{1-\frac{1}{n}})\) jest.

[denatlu]

Mam jeszcze coś takiego:

\(a_n=(\frac{3n+1}{3n+2})^{6n}\)

\(\lim_{n \to +\infty} (\frac{3n+1}{3n+2})^{6n}=\lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{6n}= \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{3n+2} \cdot \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{3n-2}=
=e \cdot \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{3n+2} \cdot \lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{3n+2})^{-4}=e^2\)

Wyszło mi \(e^2\) a odpowiedź mam \(e^{-2}\)

[radagast]

Mam jeszcze coś takiego:

\(a_n=\frac{3n+1}{3n+2})^{6n}\)

\(\lim_{n \to +\infty} (\frac{3n+1}{3n+2})^{6n}=\lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{6n}= \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{3n+2} \cdot \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{3n-2}=
=e \cdot \lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{3n+2})^{3n+2} \cdot \lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{3n+2})^{-4}=e^2\)

Wyszło mi \(e^2\) a odpowiedź mam \(e^{-2}\)

bo na samym początku pomyliłeś się w rachunkach.
powinno być:
\(\lim_{n \to +\infty} (\frac{3n+1}{3n+2})^{6n}=\lim_{n \to +\infty} (1-\frac{1}{3n+2})^{6n}=...\)

[kacper218]

Nie dopisuj zadań do tematu. !!