miara kąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
miara kąta
W pewnym trójkącie naprzeciwko kąta \alpha leży bok długości 3, a naprzeciwko kąta 2 \alpha leży bok długości 5. Korzystając ze wzoru sin2 \alpha = 2sin \alpha cos \alpha , oblicz miate największego kąta w tym trójkącie.
Z twierdzenia sinusów
\(\frac{3}{sin\alpha}=\frac{5}{sin2\alpha}\\3sin2\alpha=5sin\alpha\\6sin\alpha\ cos\alpha=5sin\alpha\\sin\alpha(6cos\alpha-5)=0\\sin\alpha\neq0\\cos\alpha=\frac{5}{6}\)
\(cos2\alpha=2cos^2\alpha-1\\cos2\alpha=2\cdot(\frac{5}{6})^2-1\\cos2\alpha=\frac{7}{18}\).
Trzeci kąt tego trójkata nazwijmy \(\beta\)
\(cos\beta=cos(180^o-3\alpha)=-cos3\alpha\)
\(cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\\cos\beta=3cos\alpha-4cos^3\alpha\\cos\beta=3\cdot\frac{5}{6}-4\cdot(\frac{5}{6})^3\\cos\beta=\frac{5}{2}-\frac{125}{54}=\frac{5}{27}\)
Cosinusy wszystkich kątów trójkąta są dodatnie, więc wszystkie kąty tego trójkąta są ostre. Cosinus w pierwszej ćwiartce (dla \(x\in(0;\ 90^o)\)) jest funkcją malejącą.
Ponieważ:
\(\frac{5}{6}>\frac{7}{18}>\frac{5}{27}\), więc największym kątem tego trójkąta jest kąt \(\beta\)., gdzie \(cos\beta=\frac{5}{27}\)
\(\frac{3}{sin\alpha}=\frac{5}{sin2\alpha}\\3sin2\alpha=5sin\alpha\\6sin\alpha\ cos\alpha=5sin\alpha\\sin\alpha(6cos\alpha-5)=0\\sin\alpha\neq0\\cos\alpha=\frac{5}{6}\)
\(cos2\alpha=2cos^2\alpha-1\\cos2\alpha=2\cdot(\frac{5}{6})^2-1\\cos2\alpha=\frac{7}{18}\).
Trzeci kąt tego trójkata nazwijmy \(\beta\)
\(cos\beta=cos(180^o-3\alpha)=-cos3\alpha\)
\(cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\\cos\beta=3cos\alpha-4cos^3\alpha\\cos\beta=3\cdot\frac{5}{6}-4\cdot(\frac{5}{6})^3\\cos\beta=\frac{5}{2}-\frac{125}{54}=\frac{5}{27}\)
Cosinusy wszystkich kątów trójkąta są dodatnie, więc wszystkie kąty tego trójkąta są ostre. Cosinus w pierwszej ćwiartce (dla \(x\in(0;\ 90^o)\)) jest funkcją malejącą.
Ponieważ:
\(\frac{5}{6}>\frac{7}{18}>\frac{5}{27}\), więc największym kątem tego trójkąta jest kąt \(\beta\)., gdzie \(cos\beta=\frac{5}{27}\)