Proszę o wytłumaczenie w przystępnym języku, jak rozwiązuje się nierówności graficznie. Jak na podstawie wykresu dwóch funkcji na jednym układzie współrzędnych możemy stwierdzić, że funkcje są równe, jedna jest większa od drugiej itp.? Patrzymy wtedy na oś X, czy Y?
Weźmy na przykład takie dwie funkcje:
\(f(x) = \frac{1}{x}
g(x)= \sqrt{x}\)
2) Funkcja f jest określona wzorem \(f(x) = \frac{3}{x^2 + 1}\), gdzie \(x \in R\).
a) Wykaż, że funkcja \(f\) jest parzysta.
b) Wykaż, że funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze \(( \infty ; 0 \right\rangle\).
c) Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).
d) Podaj przedział liczbowy, w którym funkcja \(f\) jest malejąca.
3) Funkcja f jest określona wzorem \(f(x) = \frac{x}{x +1}\).
a) Wykaż, że funkcja \(f\) jest rosnąca w każdym z przedziałów: \((- \infty ; -1), (-1 ; + \infty )\), ale nie jest monotoniczna w zbiorze \(R - \{ 1 \}\).
b) Udowodnij, że dla dowolnej liczby \(a\), a nie równa się 0, należącej do dziedziny funkcji \(f\) wartość wyrażenia \(f(a) + f( \frac{1}{a} )\) jest stała.
c) Wykaż, że funkcja \(f\) jest różnowartościowa.
4) Dane są funkcje: \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}\) oraz \(g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}\), gdzie \(x \in R - \{ 0 \}\).
a) Która z tych funkcji jest parzysta, a która jest nieparzysta?
b) Wykaż, że dla dowolnej liczby \(x\), \(x \in R - \{ 0 \}\), prawdziwa jest równość: \(f(x) = (g(x))^2 - 2\).
c) Wykaż, że zbiorem wartości funkcji \(g\) jest suma przedziałów: \((- \infty ; -2 \right\rangle \cup \left\langle 2, + \infty )\).
