Całka podwójna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Całka podwójna
Witam,
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu:
\(\int_{}^{} \int_{D}^{} ln(1+x^2+y^2)dxdy\)
o wartościach:
\(D: |y| \le x\)
\(x^2 + y^2 \le 4\)
Z góry dziękuję,
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu:
\(\int_{}^{} \int_{D}^{} ln(1+x^2+y^2)dxdy\)
o wartościach:
\(D: |y| \le x\)
\(x^2 + y^2 \le 4\)
Z góry dziękuję,
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
Re: Całka podwójna
potrzebujemy współrzędnych biegunowych.
Obszar to poniższa część okręgu:
kąt nam się zmienia od \(<\frac{\pi}{4},\frac{7}{4}\pi>\), a promień od \(<0,2>\). Pamiętajmy o jakobianie:
\(\int_{0}^{2} \left( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7}{4}\pi} ln(1+r^2)rd\varphi \right)dr= \frac{3}{2}\pi \int_{0}^{2} ln(1+r^2)rdr =(*)\)
\(\int_{}^{} ln(1+r^2)rdr= \begin{vmatrix}1+r^2=u \\2rdr=du \\ rdr = \frac{1}{2}du \end{vmatrix}= \frac{1}{2}\int_{}^{}lnudu=\frac{1}{2}ulnu-u=\frac{1}{2}u(lnu-1)= \\ = \frac{1}{2}(1+r^2)[ln(1+r^2)-1]\)
zatem \((*)=\frac{3}{4}\pi \left[(1+r^2)[ln(1+r^2)-1] \right]^2_0=\frac{3}{4}\pi \left[5ln5-5- \left(-1 \right) \right]=\frac{3}{4}\pi \left(5ln5-4 \right)\)
Obszar to poniższa część okręgu:
kąt nam się zmienia od \(<\frac{\pi}{4},\frac{7}{4}\pi>\), a promień od \(<0,2>\). Pamiętajmy o jakobianie:
\(\int_{0}^{2} \left( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7}{4}\pi} ln(1+r^2)rd\varphi \right)dr= \frac{3}{2}\pi \int_{0}^{2} ln(1+r^2)rdr =(*)\)
\(\int_{}^{} ln(1+r^2)rdr= \begin{vmatrix}1+r^2=u \\2rdr=du \\ rdr = \frac{1}{2}du \end{vmatrix}= \frac{1}{2}\int_{}^{}lnudu=\frac{1}{2}ulnu-u=\frac{1}{2}u(lnu-1)= \\ = \frac{1}{2}(1+r^2)[ln(1+r^2)-1]\)
zatem \((*)=\frac{3}{4}\pi \left[(1+r^2)[ln(1+r^2)-1] \right]^2_0=\frac{3}{4}\pi \left[5ln5-5- \left(-1 \right) \right]=\frac{3}{4}\pi \left(5ln5-4 \right)\)
- Załączniki
-
- Przechwytywanie.PNG (15.5 KiB) Przejrzano 720 razy
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
ogólnie ta całka powinna wyglądać tak:
\(\int_0^2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1+r^2)rd\varphi dr\)
i po obliczeniach mamy wynik \(\pi (\frac{5}{4} ln5- 1)\)
nie będzie w prawo, bo mamy warunek \(|y|<x\) zatem to jest tak jakbyśmy mieli \(y>|x|\) przekręcone o 90 stopni w prawo.
Obszar wygląda tak:
ja początkowo myślałem ze jest \(|y|>x\) i na podstawie tego liczony jest moj pierwszy post.
\(\int_0^2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1+r^2)rd\varphi dr\)
i po obliczeniach mamy wynik \(\pi (\frac{5}{4} ln5- 1)\)
nie będzie w prawo, bo mamy warunek \(|y|<x\) zatem to jest tak jakbyśmy mieli \(y>|x|\) przekręcone o 90 stopni w prawo.
Obszar wygląda tak:
ja początkowo myślałem ze jest \(|y|>x\) i na podstawie tego liczony jest moj pierwszy post.
Otrzymałeś odpowiedź do umieszczonego zadania? Podziękuj autorowi za rozwiązanie!!
\(\exp (i \pi) +1=0\)
\(\exp (i \pi) +1=0\)
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
-
- Często tu bywam
- Posty: 175
- Rejestracja: 16 kwie 2009, 16:51
- Otrzymane podziękowania: 38 razy
Re: Całka podwójna
\(\int_{0}^{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1+r^2)r d\varphi dr = \int_{0}^{2}\frac{\pi}{2}ln(1+r^2)rdr =^* \begin{bmatrix} 1+r^2=t \\ rdr=\frac{dt}{2} \end{bmatrix}= \\ = \int \frac{\pi}{4}lnt dt= \frac{\pi}{4}(tlnt-t)=^* \\ \frac{\pi}{4} [(1+r^2)ln(1+r^2)-\underline{ \underline{(1+r^2)}}]_0^2=\frac{\pi}{4}[(5ln5-5)-(1\cdot 0 - 1)]=\\ = \fbox{\pi(\frac{5}{4}ln5-1)}\)