Znajdź ciąg geometryczny:
\(\begin{cases}
a5 + a3+ a1= 21\\
a3-a1=3
\end{cases}\)
ciąg geometryczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
q- iloraz
\(a_1=a\\a_3=aq^2\\a_5=aq^4\)
\(\begin{cases}aq^4+aq^2+a=21\\aq^2-a=3 \end{cases} \\ \begin{cases}a=\frac{3}{q^2-1}\\a(q^4+q^2+1)=21 \end{cases}\\3(q^4+q^2+1)=21(q^2-1)\\3q^4-18q^2+24=0\ /:3\\q^4-6q^2+8=0\\(q^2-2)(q^2-4)=0\\q^2=2\ \vee \ q^2=4\\q_1=\sqrt{2}\ \vee\ q_2= -\sqrt{2}\ \vee \ q_3=2\ \vee \ q_4=-2\)
\(a_1=\frac{3}{1}=3\ \vee \ a_2=\frac{3}{3}=3\ \vee \ a_3=\frac{3}{3}=1\ \vee \ a_4=\frac{3}{3}=1\)
Są 4 takie ciągi:
\(a_1=3,\ i\ q=\sqrt{2}\ \vee \ a_1=3\ i\ q=-\sqrt{2}\ \vee \ a_1=1\ i\ q=2\ \vee \ a_1=1\ i\ q=-2\)
\(a_1=a\\a_3=aq^2\\a_5=aq^4\)
\(\begin{cases}aq^4+aq^2+a=21\\aq^2-a=3 \end{cases} \\ \begin{cases}a=\frac{3}{q^2-1}\\a(q^4+q^2+1)=21 \end{cases}\\3(q^4+q^2+1)=21(q^2-1)\\3q^4-18q^2+24=0\ /:3\\q^4-6q^2+8=0\\(q^2-2)(q^2-4)=0\\q^2=2\ \vee \ q^2=4\\q_1=\sqrt{2}\ \vee\ q_2= -\sqrt{2}\ \vee \ q_3=2\ \vee \ q_4=-2\)
\(a_1=\frac{3}{1}=3\ \vee \ a_2=\frac{3}{3}=3\ \vee \ a_3=\frac{3}{3}=1\ \vee \ a_4=\frac{3}{3}=1\)
Są 4 takie ciągi:
\(a_1=3,\ i\ q=\sqrt{2}\ \vee \ a_1=3\ i\ q=-\sqrt{2}\ \vee \ a_1=1\ i\ q=2\ \vee \ a_1=1\ i\ q=-2\)
\(a_1=2\\S_8=5S_4\)
\(a_1\cdot\frac{1-q^8}{1-q}=5a_1\cdot\frac{1-q^4}{1-q}\\1-q^8=5(1-q^4)\\q^8-5q^4+4=0\\(q^4-1)(q^4-4)=0\\q^4=1\ \vee \ q^4=4\\q_1=1\ \vee \ q_2=-1\ \vee \ q_3=\sqrt{2}\ \vee \ q_4=-\sqrt{2}\)
\(a_9=a_1\cdot\ q^8\\1^8=(-1)^8=1\\(\sqrt{2})^8=(-\sqrt{2})^8=16\\a_9=2\cdot1=2\ \vee \ a_9=2\cdot16=32\)
\(a_1\cdot\frac{1-q^8}{1-q}=5a_1\cdot\frac{1-q^4}{1-q}\\1-q^8=5(1-q^4)\\q^8-5q^4+4=0\\(q^4-1)(q^4-4)=0\\q^4=1\ \vee \ q^4=4\\q_1=1\ \vee \ q_2=-1\ \vee \ q_3=\sqrt{2}\ \vee \ q_4=-\sqrt{2}\)
\(a_9=a_1\cdot\ q^8\\1^8=(-1)^8=1\\(\sqrt{2})^8=(-\sqrt{2})^8=16\\a_9=2\cdot1=2\ \vee \ a_9=2\cdot16=32\)
Ja sobie podstawiam za \(a_1=a\), (a nie 1), żeby nie używać indeksów w równaniach. Jeżeli natomiast wiem, że a nie jest równe zero, to mogę podzielić obie strony przez a. I o to pewnie chodzi. To nie jest wstawienie jedynki, tylko podzielenie obu stron równania przez a. Nie wiem, czy o to Ci chodziło.