Równania różniczkowe i całka parametryczna

[Kowal90]

Witam potrzebuję pomocy w rozwiązaniu równania:
\(y''=2y+4\)

i całce parametrycznej a dokładniej chodzi mi o sam kąt w całce podwójnej 5dxdy gdzie obszar jest opisany równaniem \(4x^2+4y^2=8x\) wiem że r będzie się zmieniało od 0 do \(-2rcos\phi\)

[octahedron]

\(y''=2y+4
(y+2)''=2(y+2)
u''=2u
u''-2u=0
\lambda^2-2=0
\lambda=\pm\sqrt{2}
u=C_1e^{\sqrt{2}t}+C_2e^{-\sqrt{2}t}
y=C_1e^{\sqrt{2}t}+C_2e^{-\sqrt{2}t}-2\)

[octahedron]

\(\{0\le r\le 2\cos\varphi\\-\frac{\pi}{2}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}\.\)

lub:

\(\{x=r\cos\varphi+1\\y=r\sin\varphi\.\,\Rightarrow\{0\le r\le 1\\0\le\varphi\le 2\pi\.\)

[Kowal90]

Wkradł mi się tu błąd powinno być:
\(4x^2+4y^2\le-8x\)

[Kowal90]

Mam prośbę mógłby ktoś rozwiązać tą całkę 5dxdy za pomocą tych parametrów?
\(\{0\le r\le 2\cos\varphi\\-\frac{\pi}{2}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}\.\)

[patryk00714]

\(\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{2\pi}5rd\varphi \right)dr= \int_{0}^{1} \left[5r\varphi \right]^{2\pi}_0dr=10\pi \int_{0}^{1}rdr=10\pi \left[\frac{1}{2}r^2 \right]^1_0=5\pi\)

[Kowal90]

\(\int_{ \frac{- \pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } \left( \int_{0}^{-2\cos\varphi}5rdr \right )d\varphi= 5\int_ {\frac{- \pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } \left[ \frac{1}{2} r^{2}\ \right]^{-2\cos\varphi}_0d\varphi=10 \int_{ \frac{- \pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }\cos^{2}\varphi=10 \int_{ \frac{- \pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1+\cos(2x)}{2}=... x+ \frac{1}{4}\sin2x { \frac{\pi}{2} \choose\frac{-\pi}{2} }=10\pi\)

Nie wiem gdzie błąd robię stosując te parametry że wychodzi mi \(10\pi\) zamiast \(5\pi\)

[octahedron]

\(...=10 \int_{ \frac{- \pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }\cos^{2}x\,dx=10 \int_{ \frac{- \pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx=10\bigg[\frac{1}{2}x+ \frac{1}{4}\sin2x \bigg]^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2} }=5\pi\)