Oblicz granice

[anka]

Zadanie 3.
Oblicz granice
a)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{ x^{3}- x^{2}}{e^{3x-1}}\)

b)
\(\lim_{x \to \ 0} ( \frac{1}{sinx} - \frac{1}{x^{2}})\)

c)
\(\lim_{x \to \ 0} x ln^{2}x\)

d)
\(\lim_{x \to \ 0^{-} } x^{2}\cdot e^{ -{\frac{1}{x}}\)


Za podpowiedzi dziękuję, potrzebne mi są tzw gotowce

[Szimi10]

a)

a)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{ x^{3}- x^{2}}{e^{3x-1}}\)

\(\begin{bmatrix} \infty \\ \infty \end{bmatrix} =^H \lim_{x \to \infty} \frac{ (x^{3}- x^{2})'''}{(e^{3x-1})'''}=\lim_{x \to \infty} \frac{6}{27e^{3x-1}}= \begin{bmatrix} 6\\ \infty \end{bmatrix} =0\)

Możliwe że obliczenia są zbędne, bo funkcja wykładnicza dąży szybciej do nieskończoności od wielomianu dowolnego stopnia.

[Szimi10]

b)
\(\lim_{x \to \ 0} ( \frac{1}{sinx} - \frac{1}{x^{2}})\)

\(=\lim_{x \to 0} \frac{x^2-sinx}{x^2sinx}=\lim_{x \to 0} \frac{x(x-\frac{sinx}{x})}{xsinx}=\lim_{x \to 0} \frac{x-1}{sinx}=+/-\infty\)

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{x-1}{sinx}=-\infty
\lim_{x \to 0^-} \frac{x-1}{sinx}=+\infty\)

Zaznaczę, że korzystam z faktu, że:
\(\lim_{x \to \ 0} \frac{sinx}{x}=1\)

[Przemo10]

\(\lim_{x \to \ 0} \frac{x-1}{sinx}=-\infty\)

Szumi10 zapomniałeś o granicach jednostronncyh

[Szimi10]

c)
\(\lim_{x \to 0} x ln^{2}x\)

\(=[0\cdot \infty] = \lim_{x \to 0} \frac{ ln^{2}x}{\frac{1}{x}} =[\frac{\infty}{\infty}]=^H \lim_{x \to 0} \frac{ (ln^{2}x)'}{(\frac{1}{x})'}=\lim_{x \to 0} \frac{ 2lnx}{-x\cdot \frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0} \frac{ (2lnx)'}{(- \frac{1}{x})}=\lim_{x \to 0}\frac{2}{x\cdot x^{-2}}=0\)

Dzięki Anka za uwagę.

[Szimi10]

\(\lim_{x \to \ 0} \frac{x-1}{sinx}=-\infty\)

Szumi10 zapomniałeś o granicach jednostronncyh

Szimi*
Nie zapomniałem, po prostu przyjąłem ogólny schemat rozwiązania, ale ok, masz rację.
Dopisałem.

[Szimi10]

d)
\(\lim_{x \to \ 0^{-} } x^{2}\cdot e^{ -{\frac{1}{x}}\)

\(=[0^+ \cdot \infty]=\lim_{x \to 0^{-} }\frac{e^{-x^{-1}}}{x^{-2}}=[\frac{\infty}{\infty}]=^H\lim_{x \to 0^{-} }\frac{e^{-x^{-1}}\cdot x^{-2}}{-2x^{-3}}=\lim_{x \to 0^{-} }\frac{e^{-x^{-1}}}{-2x^{-1}}=^H \\ \lim_{x \to 0^{-} }\frac{e^{-x^{-1}}\cdot x^{-2}}{2x^{-2}}=\lim_{x \to 0^{-} }e^{-x^{-1}}=\infty\)

Podobnie jak w a), można wykorzystać na starcie fakt, że funkcja wykładnicza dąży szybciej do nieskończoności od wielomianu.

Dodam jeszcze, że symbolem \(=^H\) oznaczam regułę de l'Hospotala.

Pozdrawiam
\(\int\)zymon \(dS\)

[octahedron]

\(...=\lim_{x \to 0} \frac{x(x-\frac{\sin x}{x})}{x\sin x}=\lim_{x \to 0} \frac{x-1}{\sin x}=...\)

Tu jest dobrze, ale na takim "częściowym" liczeniu granic można się przejechać.

[anka]

W d) też gdzieś jest błąd

[Szimi10]

\(\lim_{x \to 0^{-} }\frac{e^{-x^{-1}}\cdot x^{-2}}{2x^{-2}}=\lim_{x \to 0^{-} }e^{-x^{-1}}\)

No jest tutaj, bo głodny... ale wyniku nie zmienia
Gdzieś jeszcze coś zjadłem?

[anka]

Masz opcje edycji?

[Szimi10]

\(...=\lim_{x \to 0} \frac{x(x-\frac{\sin x}{x})}{x\sin x}=\lim_{x \to 0} \frac{x-1}{\sin x}=...\)

Tu jest dobrze, ale na takim "częściowym" liczeniu granic można się przejechać.

No i faktycznie (chyba) przez to powstał błąd.
\(\lim_{x \to 0} ( \frac{1}{sinx} - \frac{1}{x^{2}})=\lim_{x \to 0}\frac{x}{sinx \cdot x}- \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}= \lim_{x \to 0} 1/x - \lim_{x \to 0}1/x^2= \lim_{x \to 0}(x-1)/x^2=-\infty\)

Masz opcje edycji?

Mam taką opcję, co możesz zauważyć parę postów wyżej, ale z racji tego, że przyznaję się do swoich błędów to raczej staram się ich nie edytować, tym bardziej, że część rozmowy było na priv.
Mam nadzieję, że bardzo Cię tym nie uraziłem...

Pozdrawiam.

[anka]

Chodzi mi o poprawę zapisu w tym przykładzie d)

[Przemo10]

Sory , Szumi10, że wprowadziłem w błąd , ale tylko spojrzałem na ostatnią równość.
Nawet dobrze , że pojawił się błąd , to przynajmniej przykład był edukacyjny