Całka podwójna (zmienne biegunowe)

[vadim]

Obliczyć całkę:
\(\int_{}^{} \int_{D}^{} \sqrt{x^2+y^2}dxdy \ gdzie \ D: \ x^2+y^2-2y \le 0.\)
Nie jestem pewien czy dobrze zamieniałem zmienne x i y. Obliczona wartość jest inna niż w odpowiedziach, jednak chciałbym dojść samemu do wyniku. Chcę tylko wiedzieć czy dobrze zamieniałem zmienne. Poprawny wynik to \(\frac{32}{9}\).
\(1 \le \varphi \le 1+2sin\varphi
- \frac{ \pi }{4} \le \varphi \le \frac{ \pi }{4}\)

[patryk00714]

coś mi nie pasuje z tym obszarem, bo wygląda on tak:

Przechwytywanie.PNG (7.06 KiB) Przejrzano 611 razy

jak widać nie ma go pod osią OX, jak wskazuje wskazana przez Ciebie nierówność

[vadim]

Problem mam zawsze, kiedy figura w dziedzinie nie ma środka w środku układu współrzędnych. Teraz zrobiłem to zadanie jeszcze raz i wyszło mi zupełnie coś innego.

\(- \frac{ \pi }{2} \le \varphi \le \frac{ \pi }{2}
0 \le r \le 2sin\varphi
\int_{0}^{ \pi }[ \int_{0}^{2sin\varphi} \sqrt{r^2} rdr]d\varphi= \int_{0}^{ \pi } \frac{1}{3}(2sin\varphi)^3d\varphi.\)
Jak to dalej liczyć?

[patryk00714]

a sprawdź, jakby to było, gdyby funkcję przesunąć równoległe wzdłuż osi OY o jedną jednostkę w dół i obszar całkowania przesunąć o jednostkę też w dół...

podstaw \(t=cos\varphi\) i skorzystaj z tego, że \(sin^2\varphi=1-cos^2\varphi\)

[Szimi10]

\(\int_{0}^{\pi} \frac{8}{3}sin^3 \varphi d\varphi = \frac{8}{3} \int_{0}^{\pi} sin\varphi(1-cos^2\varphi) d\varphi= \begin{bmatrix} cos\varphi = t \\-sin\varphi d\varphi = dt \\ -1 \le t \le 1 \end{bmatrix} = -\frac{8}{3} \int_{-1}^{1} (1-t^2) dt\)

[radagast]

a dlaczego \(\varphi\) zmienia się na tak krótkim przedziale ? Przecież to całe koło , a nie pół.

[kacper218]

ale ono nie jest w środku układu i promień inaczej się zmienia dlatego tylko od 0 do \(\pi\)
Tak w ogóle to mały błąd jest u Szimiego, wynik powinien być na plusie.

[Szimi10]

Tak, bo jak się weźmie punkt na okręgu i będzie się nim 'jechać' po obwodzie to kąt jaki zatoczymy względem środka układu będzie od 0 do \(\pi\).

[vadim]

Wychodzi mi \(- \frac{32}{9}\), a nie \(\frac{32}{9}\), według tego podstawienia.

[Szimi10]

No bo t zmienia się od 1 do -1, a nie jak napisałem od -1 do 1.

[Szimi10]

Poza tym, nie trzeba ustalać nowych granic całkowania, żeby nie dodawać sobie okazji do błędu, i po prostu policzyć całkę z podstawieniem jako nieoznaczoną, później wrócić z podstawieniem i wstawiać właściwe granice.