zadania egzaminacyjne CKU Bydgoszcz semV

[peccatore]

PRZYGOTOWANIE DO EGZAMINU PISEMNEGO Z MATEMATYKI
CKU Bydgoszcz sem V

1. Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane:\(a_3\) + \(a_6=5\) i \(4_a_2+a_1_0= 1\)
2. W ciągu arytmetycznym ,\(a_1=-20\) , \(r=4\) .Ile wyrazów tego ciągu daje w sumie 780?
3. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 12, a suma \(S_9\) jest równa 378. Wyznacz ten ciąg.
4. Wyznacz ciąg geometryczny mając dane: \(a_1=8\) i \(a_8\) = \(\frac{1}{8}\)
5. Znając wyraz pierwszy \(a_1=8\) i \(q=\frac{1}{2}\) ilość wyrazów n=10 oblicz \(S_n\) .
6. Trzy liczby a, b i 12 tworzą ciąg geometryczny, natomiast liczby a, b, i 9 tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź a i b.
7. Trzy liczby, których suma wynosi 21, tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli od tych liczb odejmiemy odpowiednio 1, 4, 3, to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.

[irena]

1.

\(a_1=a\), r- różnica ciągu

\(\begin{cases}a+2r+a=5r=5\\9(a+r)+a+9r=1 \end{cases} \\ \begin{cases}2a+7r=5\ /\cdot(-5)\\5a+13r=1\ /\cdot2 \end{cases} \\ \begin{cases}-10a-35r=-25\\10a+26r=2 \end{cases} \\-9r=-23\\r=\frac{23}{9}\\2a+7\cdot\frac{23}{9}=5\\a=-\frac{58}{9}\)

\(\begin{cases}a_1=-\frac{58}{9}\\r=\frac{23}{9} \end{cases}\)

2.
\(a_1=-20\\r=4\\a_n=a_1+(n-1)\cdot\ r\\a_n=-20+(n-1)\cdot4\\a_n=4n-24\)

\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot\ n\\\frac{-20+4n-24}{2}\cdot\ n=780\\(2n-22)\cdot\ n=780\\2n^2-22n-780=0\ /:2\\n^2-11n-390=0\\\Delta=1681\\\sqrt{\Delta}=41\\n_1=\frac{11-41}{2}=-15\ \vee \ n_2=\frac{11+41}{2}=26\\n \in \ N\\n=26\)

26 wyrazów

[irena]

3.
\(a_2=12\\S_9=378\\a_1=a\\a+r=12\\a=12-r\\a_9=a+8r=12-r+8r=12+7r\\S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot9\\\frac{12-r+12+7r}{2}\cdot9=378\ /:9\\\frac{24+6r}{2}=42\\12+3r=42\\r=10\\a=12-10=2\)

\(\begin{cases}a_1=2\\r=10 \end{cases}\)

[irena]

4.
\(a_1=8\\a_8=\frac{1}{8}\)

\(a_8=a_1\cdot\ q^7\\\frac{1}{8}=8\cdot\ q^7\\q^7=\frac{1}{64}\\q=\frac{1}{\sqrt[7]{64}}\)

[irena]

5.
\(a_1=8\\q=\frac{1}{2}\\n=10\)

\(S_{10}=a_1\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q}\\S_{10}=8\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}\\S_{10}=8\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}\)

\(S_{10}=16(1-\frac{1}{1024})=16-\frac{16}{1024}=16-\frac{1}{64}\\S_{10}=15\frac{63}{64}\)

[irena]

6.

(a,b,12)- ciąg geometryczny

(a,b,9)- ciąg arytmetyczny

\(\begin{cases}b^2=12a\\2b=a+9 \end{cases} \\a=2b-9\\b^2=12(2b-9)\\b^2=24b-108\\b^2-24b+108=0\\\Delta=576-432=144\\\sqrt{\Delta}=12\\b_1=\frac{24-12}{2}=6\ \vee \ b_2=\frac{24+12}{2}=18\\a_1=3\ \vee \ a_2=27\)

\(\begin{cases}a=3\\b=6 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}a=27\\b=18 \end{cases}\)

[irena]

7.
(a,b,c)-ciąg arytmetyczny

(a-1, b-4, c-3)- ciąg geometryczny

\(\begin{cases}a+b+c=21\\2b=a+c\\(b-4)^2=(a-1)(c-3) \end{cases}\\a+c=21-b\\2b=21-b\\3b=21\\b=7\\a+c=14\\c=14-a\\3^2=(a-1)(14-a-3)\\(a-1)(11-a)=9\\-a^2+12a-20=0\\a_1=10\ \vee \ a_2=2\\c_1=4\ \vee \ c_2=12\)

\(\begin{cases}a=10\\b=7\\c=4 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases}a=2\\b=7\\c=12 \end{cases}\)