proszę o pomoc w rozwiazaniu:
Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod katem \(30^o\). Oblicz stosunek objętosci kuli wpisanej w ten stożek do objętosci kuli opisanej na tym stożku.
dziękuję
stosunek objętosci kul
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jeśli narysujesz przekrój osiowy, to otrzymasz trójkąt o podstawie równej 2a- średnicy podstawy stożka i ramionach l = tworzącej stożka.
\(cos30^o=\frac{a}{l}\\l=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Jeśli R- promień kuli opisanej na stożku (również promień koła opisanego na trójkącie- przekroju osiowym)
Pole trójkąta:
\(\frac{2a\cdot\ l\cdot\ l}{4R}=\frac{1}{2}\cdot\ 2a\cdot\ l\cdot\ sin30^o\\{l}{R}=1\\R=l\\R=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{1}{2}\cdot\ 2a\cdot\ l\cdot\ sin30^o=\frac{2a+l+l}{2}\cdot\ r\\\frac{1}{2}\cdot\ a\cdot\ l=(a+l)\cdot\ r\)
\(\frac{1}{2}\cdot\ a\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{3}=(a+\frac{2a\sqrt{3}}{3})\cdot\ r\\a^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=a\cdot\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\cdot\ r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\\\frac{r}{R}=\frac{2\sqrt{3}-3}{2}\)
Stosunek objętości tych kul jest równy sześcianowi stosunku ich promieni.
Stosunek promieni:
\(\frac{r}{R}=\frac{a\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\ :\ \frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{2(3+2\sqrt{3})}\cdot\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}\)
Stosunek objętości:
\(\frac{V_w}{V_o}=(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})^3\\\frac{V_w}{V_o}=\frac{24\sqrt{3}-108+54\sqrt{3}-27}{8}=\frac{78\sqrt{3}-135}{8}=\frac{3(26\sqrt{3}-45}{8}=\frac{3}{8}(26\sqrt{3}-45)\)
\(cos30^o=\frac{a}{l}\\l=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Jeśli R- promień kuli opisanej na stożku (również promień koła opisanego na trójkącie- przekroju osiowym)
Pole trójkąta:
\(\frac{2a\cdot\ l\cdot\ l}{4R}=\frac{1}{2}\cdot\ 2a\cdot\ l\cdot\ sin30^o\\{l}{R}=1\\R=l\\R=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{1}{2}\cdot\ 2a\cdot\ l\cdot\ sin30^o=\frac{2a+l+l}{2}\cdot\ r\\\frac{1}{2}\cdot\ a\cdot\ l=(a+l)\cdot\ r\)
\(\frac{1}{2}\cdot\ a\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{3}=(a+\frac{2a\sqrt{3}}{3})\cdot\ r\\a^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=a\cdot\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\cdot\ r\\r=\frac{a\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\\\frac{r}{R}=\frac{2\sqrt{3}-3}{2}\)
Stosunek objętości tych kul jest równy sześcianowi stosunku ich promieni.
Stosunek promieni:
\(\frac{r}{R}=\frac{a\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\ :\ \frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{2(3+2\sqrt{3})}\cdot\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}\)
Stosunek objętości:
\(\frac{V_w}{V_o}=(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})^3\\\frac{V_w}{V_o}=\frac{24\sqrt{3}-108+54\sqrt{3}-27}{8}=\frac{78\sqrt{3}-135}{8}=\frac{3(26\sqrt{3}-45}{8}=\frac{3}{8}(26\sqrt{3}-45)\)