promien okregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
promien okregu
Czworokat ABCD wpisany jest w okrąg. Oblicz promień tego okręgu, jeśli AB=AC=4 oraz BD=CD=6.
Kąty: CAB - utworzony przez dwie równe cięciwy (o długości 4) i CDB- utworzony przez dwie równe cięciwy (o długości 6), oparte cą na tej samej cięciwie - BC. Czyli odcinki AC i BD nie mogą być przekątnymi czworokąta. Mamy tu zatem deltoid ABDC wpisany w okrąg.
Promień tego okręgu - R.
Jeżeli kąt CDB ma miarę \(\alpha\), to kąt CAB ma miarę \(180^o-\alpha\) - są to przeciwległe kąty czworokąta wpisanego w okrąg.
Trójkąt ABC jest równoramienny, wpisany w okrąg, o ramionach |AB|=|AC|=4. Trójkąt CBD jest równoramienny, wpisany w okrąg, o ramionach |CD|=|CB|=6
Z twierdzenia cosinusów:
\(|BC|^2=6^2+6^2-2\cdot6^2cos\alpha\\|BC|^2=4^2+4^2-2\cdot4^2cos(180-\alpha)\\72-72\cdot\ cos\alpha=32-32-2\cdot32\cdot(-cos\alpha)\\cos\alpha=\frac{5}{13}\\|BC|^2=\frac{576}{13}\\|BC|=\frac{24\sqrt{13}}{13}\)
\(cos\alpha=\frac{5}{13} \Rightarrow \ sin\alpha=\frac{12}{13\)
Z pola trójkąta BCD:
\(\frac{1}{2}|CD|^2\cdot\ sin\alpha=\frac{|CD|\cdot|BD|\cdot|BC|}{4R}\\\frac{216}{13}=\frac{864\sqrt{13}}{13\cdot4R}\\R=\sqrt{13}\)
Promień tego okręgu - R.
Jeżeli kąt CDB ma miarę \(\alpha\), to kąt CAB ma miarę \(180^o-\alpha\) - są to przeciwległe kąty czworokąta wpisanego w okrąg.
Trójkąt ABC jest równoramienny, wpisany w okrąg, o ramionach |AB|=|AC|=4. Trójkąt CBD jest równoramienny, wpisany w okrąg, o ramionach |CD|=|CB|=6
Z twierdzenia cosinusów:
\(|BC|^2=6^2+6^2-2\cdot6^2cos\alpha\\|BC|^2=4^2+4^2-2\cdot4^2cos(180-\alpha)\\72-72\cdot\ cos\alpha=32-32-2\cdot32\cdot(-cos\alpha)\\cos\alpha=\frac{5}{13}\\|BC|^2=\frac{576}{13}\\|BC|=\frac{24\sqrt{13}}{13}\)
\(cos\alpha=\frac{5}{13} \Rightarrow \ sin\alpha=\frac{12}{13\)
Z pola trójkąta BCD:
\(\frac{1}{2}|CD|^2\cdot\ sin\alpha=\frac{|CD|\cdot|BD|\cdot|BC|}{4R}\\\frac{216}{13}=\frac{864\sqrt{13}}{13\cdot4R}\\R=\sqrt{13}\)