całka potrójna

[kasia92]

Coś jest źle ale nie wiem co....

prosze o pomoc


\(\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} 2xdxdydz= \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} [x^2]_{0}^{2}dydx=\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1}4dydx=\int_{0}^{1}[4x]_{-1}^{1}= \int_{0}^{1}8dx=[8x]_{0}^{1}=8\)

[octahedron]

A dlaczego ma być źle?

[kasia92]

a dobrze jest ? bo w odpowiedziach jest wynik 4

[patryk00714]

zauważ, że dwukrotnie całkowałaś po x.

\(\int_{0}^{1} \left[ \int_{-1}^{1} \left( \int_{0}^{2}2xdz \right)dy \right]dx= \int_{0}^{1} \left( \int_{-1}^{1}[2x[z]^2_0dy \right)dx= \int_{0}^{1} \left( \int_{-1}^{1}4xdy \right)dz= \int_{0}^{1} 4x[y]^1_{-1}dx= \\=\int_{0}^{1}8xdx=[4x^2]^1_0=4\)

[octahedron]

No faktycznie, zadanie na spostrzegawczość

[kasia92]

zauważ, że dwukrotnie całkowałaś po x.

\(\int_{0}^{1} \left[ \int_{-1}^{1} \left( \int_{0}^{2}2xdz \right)dy \right]dx= \int_{0}^{1} \left( \int_{-1}^{1}[2x[z]^2_0dy \right)dx= \int_{0}^{1} \left( \int_{-1}^{1}4xdy \right)dz= \int_{0}^{1} 4x[y]^1_{-1}dx= \\=\int_{0}^{1}8xdx=[4x^2]^1_0=4\)

w ktorym miejscu?

przecież całka z \(2x=x^2\)

[radagast]

zauważ, że dwukrotnie całkowałaś po x.

\(\int_{0}^{1} \left[ \int_{-1}^{1} \left( \int_{0}^{2}2xdz \right)dy \right]dx= \int_{0}^{1} \left( \int_{-1}^{1}[2x[z]^2_0dy \right)dx= \int_{0}^{1} \left( \int_{-1}^{1}4xdy \right)dz= \int_{0}^{1} 4x[y]^1_{-1}dx= \\=\int_{0}^{1}8xdx=[4x^2]^1_0=4\)

w ktorym miejscu?

przecież całka z \(2x=x^2\)

istotnie \(\int_{}^{} 2x dx=x^2+C\)
ale \(\int_{}^{} 2x dz=2xz+C\)

[radagast]

Ale Patryk zmienił kolejność całkowania. Tam rzeczywiście 8 wychodzi !

[radagast]

tam jest tak:

\(\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} 2xdxdydz= \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} [x^2]_{0}^{2}dydx=\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1}4dydx=\int_{0}^{1}[4x]_{-1}^{1}= \int_{0}^{1}8dx=[8x]_{0}^{1}=8\)

a powinno być:

\(\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} 2xdxdydz= \int_{0}^{1} \left[ \int_{-1}^{1} \left( \int_{0}^{2} 2xdx\right) dy\right] dz=\int_{0}^{1} \left[ \int_{-1}^{1} [x^2]_{0}^{2}dy\right] dz=\int_{0}^{1} \left[\int_{-1}^{1}4dy \right] dz=\int_{0}^{1}[4y]_{-1}^{1}dz=
\int_{0}^{1}8dz=[8z]_{0}^{1}=8\)

Czyli istotnie , był błąd ale nie miał wpływu na wynik.

[patryk00714]

moje rozwiązanie jest poprawne. Zgodnie z umową całkujemy względem zmiennych od zewnętrznej strony, czyli po z, po y i po x.

[radagast]

moje rozwiązanie jest poprawne. Zgodnie z umową całkujemy względem zmiennych od zewnętrznej strony, czyli po z, po y i po x.

Czy dobrze rozumiem ?
Dopisanie nawiasów powoduje konieczność zamiany \(dxdydz\) na \(dzdydx\) ? To samo zrobiła Kasia, więc pewnie masz rację ale zaskoczyło mnie to . Z czego to wynika ?

[patryk00714]

To umowa zaproponowana przez Fubiniego od zewnetrznej zmiennej liczymy

[Mash]

Co za bajer... w życiu bym nie pomyślał, że tą całkę trzeba rozwiązać w odwrotnej kolejności niż ten zapis który tam jest
Wydaje się, że to powinna być wiedza elementarna.. a ja tego oczywiscie nie wiedziałem.
Tylko pytanie, czy te nawiasy które dopisałeś (co zmieniły kolejność całkowania) nie są jakby 'w domyśle' i że faktycznie w pierwszym zapisie one już istniały tylko nie zostały zapisane? W sumie to nie do końca to chyba rozumiem. Ja zawsze myślałem, że jak nie ma tych nawiasów, to jest tak jakby one były - uznawałem to za sprawę oczywistą.

Dzięki za info Patryk

[octahedron]

No nie wiem, jak dla mnie

\(\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dxdy=\int_a^b\(\int_c^d f(x,y)\,dx\)\,dy\)

czyli od środka

[patryk00714]

ja miałem od zewnątrz - ale właśnie na kliku konkursach był spór o to - studenci z innych uczelni liczyli inaczej przez co wyniki były różne. Przy twierdzeniu Fubiniego na bank miałem liczone od zewnątrz. Skoro wynik w podręczniku Kasi to 4, a przy liczeniu od zewnątrz tak wychodzi to ten podręcznik został napisany wedle tej konwencji