pole prostokąta ABCD równa się 60. Wierzchołek B ma współrzędne (8,-2) a bok CD zawiera sie w prostej k o równaniu x-2y+8=0
a) wyznacz współrzedne pozostakych wierzcholkow prostokata wiedzac ze wektor CD ma ujemne wspolrzedne
(21:32)
b) wyznacz wspolrzedne srodka i dlugosc promienia okregu opisanego na prostokacie ABCD
Prostokat
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
Proste BC i CD są prostopadłe. Prosta BC: 2x+y+k=0
\(2\cdot8-2+k=0\\k=-14\)
BC: 2x+y-14=0
Punkt C:
\(\begin{cases}x-2y+8=0\\2x+y-14=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=4\\y=6 \end{cases} \\C=(4,6)\)
\(|BC|=\sqrt{(8-4)^2+(-2-6)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
\(P=60\\|BC|\cdot|CD|=60\\|CD|=\frac{60}{4\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\)
Punkt D=(a,b) leży na prostej CD, czyli a-2b+8=0, czyli a=2b-8
\(|CD=|sqrt{(a-4)^2+(b-6)^2}=3\sqrt{5}\\\sqrt{(2b-12)^2+(b-6)^2}=3\sqrt{5}\\4b^2-48b+144+b^2-12b+36=45\\b^2-12b+27=0\\b=3\ \vee \ b=9\\D=(-2,3)\ \vee \ D=(10,9)\)
Jeżeli wektor CD ma ujemne współrzędne, to a-4<0 i b-6<0, czyli D=(-2,3).
A=(c,d)
\(\vec{CB}=\vec{DA}\\\vec{CB}=[8-4,-2-6]=[4,-8]\\\vec{DA}=[c+2,d-3]\\c+2=4,\ d-3=-8\\c=2\ d=-5\\A=(2,-5)\)
b)
Środek okręgu opisanego na prostokącie to punkt przecięcia jego przekątnych (środek przekątnej), a promień jest równy połowie przekątnej.
O=(a,b), O= środek BD
\(O=(\frac{-2+8}{2},\frac{3+(-2)}{2})\\O=(3,\ \frac{1}{2})\)
Promień r:
\(|BD|=\sqrt{(8+2)^2+(-2-3)^2}\\|BD|=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\\r=\frac{5\sqrt{5}}{2}\)
Proste BC i CD są prostopadłe. Prosta BC: 2x+y+k=0
\(2\cdot8-2+k=0\\k=-14\)
BC: 2x+y-14=0
Punkt C:
\(\begin{cases}x-2y+8=0\\2x+y-14=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=4\\y=6 \end{cases} \\C=(4,6)\)
\(|BC|=\sqrt{(8-4)^2+(-2-6)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
\(P=60\\|BC|\cdot|CD|=60\\|CD|=\frac{60}{4\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\)
Punkt D=(a,b) leży na prostej CD, czyli a-2b+8=0, czyli a=2b-8
\(|CD=|sqrt{(a-4)^2+(b-6)^2}=3\sqrt{5}\\\sqrt{(2b-12)^2+(b-6)^2}=3\sqrt{5}\\4b^2-48b+144+b^2-12b+36=45\\b^2-12b+27=0\\b=3\ \vee \ b=9\\D=(-2,3)\ \vee \ D=(10,9)\)
Jeżeli wektor CD ma ujemne współrzędne, to a-4<0 i b-6<0, czyli D=(-2,3).
A=(c,d)
\(\vec{CB}=\vec{DA}\\\vec{CB}=[8-4,-2-6]=[4,-8]\\\vec{DA}=[c+2,d-3]\\c+2=4,\ d-3=-8\\c=2\ d=-5\\A=(2,-5)\)
b)
Środek okręgu opisanego na prostokącie to punkt przecięcia jego przekątnych (środek przekątnej), a promień jest równy połowie przekątnej.
O=(a,b), O= środek BD
\(O=(\frac{-2+8}{2},\frac{3+(-2)}{2})\\O=(3,\ \frac{1}{2})\)
Promień r:
\(|BD|=\sqrt{(8+2)^2+(-2-3)^2}\\|BD|=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\\r=\frac{5\sqrt{5}}{2}\)