Wyznaczyc strumien

[Faner]

Mam dane pole wektorowe \(F = (x,y,z)\) i trzeba obliczyc strumien pola wektorowego przez dolna strone powierzchni bocznej paraboloidy \(az = x^2+y^2\) dla \(0 \le z \le a\)
Jak to policzyc ?

[octahedron]

\(0\le z\le a\,\Rightarrow\,D:\, x^2+y^2\le a^2
S(x,y,z)=az-x^2-y^2
\Psi_F=\iint_D F\cdot\nabla S\,dxdy=\iint_D (x,y,z)\cdot(-2x,-2y,a)\,dxdy=\iint_D az-2x^2-2y^2\,dxdy=
=-\iint_D x^2+y^2\,dxd=-\int_0^{2\pi}\int_0^a r^3\,drd\varphi=-\frac{\pi a^4}{2}\)

[Dexous]

Moglbys wyjasnic pierwsze 2 linijki ?
\(az = x^2 + y^2\) dla \(0 \le \ z \le a\) Oznacza ze jest to praboida scieta od gory przez plaszyzne z = a ?

I teraz zauwazylem ze \(F = (y,x,z)\) Duzo to zmienia ?

[octahedron]

Tak, to taka paraboloida. Obliczamy jej rzut na płaszczyznę \(OXY\). A zmienia się to:

\(\iint_D(y,x,z)\cdot(-2x,-2y,a)\,dxdy=\iint_D az-4xy\,dxdy=\iint_D x^2+y^2-4xy\,dxdy\)

[Faner]

Chcialbym wrocic jeszcze do tego zadania, bo jednak dalej cos mi nie pasuje.
\(az = x^2+y^2\)
czyli \(z = f(,x,y) = \frac{1}{a}(x^2+y^2)\)
i mam taki wzor
\(\int \int P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy\)
\(= \int \int [P(x,y,f(x,y))( - \frac{\partial f}{\partial x}) + Q(x,y,f(x,y)) ( - \frac{\partial f}{\partial y}) + R(x,y,z)] dxdy\)
i po policzeniu i wstawieniu do tego wzoru dostaje
\(\int \int \frac{-4xy}{a} + z dx dy = \frac{1}{a} \int \int (x^2+y^2 -4xy) dxdy\)
gdzie obszar D to bedzie \(r \in [0;a]\) oraz \(\phi \in [0;2 \pi ]\)
Co zle robie tym sposobem ? Takiego sposobu wymaga od nas nauczyciel

[Faner]

jednak pasuje, przez pomylke liczac do zlego pola, tego co podal Dexous.
Znaczy brakuje w Twoim rozwiazaniu chyba jeszcze na koncu podzielenie przez a

[octahedron]

Racja, powinno być:

\(z=\frac{1}{a}(x^2+y^2)
S(x,y,z)=z-\frac{1}{a}(x^2+y^2)\)