Całka krzywoliniowa zorientowana
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Całka krzywoliniowa zorientowana
Oblicz całkę: \(\int_{L}x^{2}ydx\), gdzie \(L: x^{2}+y^{2} \le 4\) \(\in\) 1 ćwiartki, zorientowana dodatnio.
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Właśnie nad tym się teraz zacząłem zastanawiać, czytając skrypt "Elementy analizy wektorowej". Jeśli to "kółeczko" oznacza, że liczymy całkę po krzywej zamkniętej, to mamy krzywą zamkniętą od początku układu współrzędnych do punktu (2,0), dalej po łuku o promieniu 2, do punktu (0,2), dalej do początku układu współrzędnych. Kolega też zaczął rozwiązywać i się zastanawiamy. No a facet podał taki zapis j.w.
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Krzywoliniowa.
Mam takie coś:
\(\int_{L}x^{2}ydx-y^{2}xdx\)
Wyznaczam sobie dziedzinę i przechodzę na współrzędne biegunowe.
Otrzymuję:
\(r\in(0,2>\), bo \(r>0\), dlatego lewostronnie otwarty, zgadza się?
\(\phi\in<0,\frac{\pi}{2}>\)
Ponadto:
\(x=r\cdot \cos\phi\)
\(y=r\cdot \sin\phi\)
Z tw. Greena "przekształcam" sobie całkę, otrzymuję:
\(\frac{\sigma(y^{2}x)}{\sigma x}=y^{2}\)
\(\frac{\sigma(x^{2}y)}{\sigma y}=x^{2}\)
W konsekwencji mam:
\(\int\int (r^{2}sin^{2}\phi-r^{2}cos^{2}\phi)rdrd\phi\)
\(\int\int r^{3}(sin^{2}\phi-cos^{2}\phi)drd\phi\)
Czy dobrze? Teraz dalej, granice całkowania mam już wcześniej wyznaczone:
\(\int_{0}^{2} r^{3}dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sin^{2}\phi-cos^{2}\phi)d\phi\)
Czy tak?
Mam takie coś:
\(\int_{L}x^{2}ydx-y^{2}xdx\)
Wyznaczam sobie dziedzinę i przechodzę na współrzędne biegunowe.
Otrzymuję:
\(r\in(0,2>\), bo \(r>0\), dlatego lewostronnie otwarty, zgadza się?
\(\phi\in<0,\frac{\pi}{2}>\)
Ponadto:
\(x=r\cdot \cos\phi\)
\(y=r\cdot \sin\phi\)
Z tw. Greena "przekształcam" sobie całkę, otrzymuję:
\(\frac{\sigma(y^{2}x)}{\sigma x}=y^{2}\)
\(\frac{\sigma(x^{2}y)}{\sigma y}=x^{2}\)
W konsekwencji mam:
\(\int\int (r^{2}sin^{2}\phi-r^{2}cos^{2}\phi)rdrd\phi\)
\(\int\int r^{3}(sin^{2}\phi-cos^{2}\phi)drd\phi\)
Czy dobrze? Teraz dalej, granice całkowania mam już wcześniej wyznaczone:
\(\int_{0}^{2} r^{3}dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sin^{2}\phi-cos^{2}\phi)d\phi\)
Czy tak?
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Powinno być \(-(\sin^2\phi+\cos^2\phi)\). Można też z definicji. Na osiach funkcja podcałkowa jest zerem, więc całki też. Stąd:
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}8\cos^2t\sin t(2\cos t)'-8\cos t\sin^2t(2\sin t)'\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}-32\cos^2t\sin^2t\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}-8\sin^22t\,dt=
=-4\int_0^\pi\sin^2u\,du=-2\pi\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}8\cos^2t\sin t(2\cos t)'-8\cos t\sin^2t(2\sin t)'\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}-32\cos^2t\sin^2t\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}-8\sin^22t\,dt=
=-4\int_0^\pi\sin^2u\,du=-2\pi\)