monotonicznosc i ekstrema
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
natalka8830
- Rozkręcam się
- Posty: 57
- Rejestracja: 04 lut 2013, 09:16
- Podziękowania: 49 razy
\(f(x)=\frac{x^2}{4-x}\\D_f=R\setminus\{4\}\)
\(\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{4-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\frac{4}{x}-1}=\infty\\\lim_{x\to4_-}\frac{x^2}{4-x}=\[\frac{16}{0_+}\]=\infty\\\lim_{x\to4_+}\frac{x^2}{4-x}=\[\frac{16}{0_-}\]=-\infty\\\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\frac{4}{x}-1}=-\infty\)
\(f'(x)=\frac{2x(4-x)-x^2\cdot(-1)}{(4-x)^2}=\frac{8x-2x^2+x^2}{(4-x)^2}=\frac{x(8-x)}{(4-x)^2}\)
\(f'(x)=0\\x_1=0\ \vee\ x_2=8\)
\(f'(x)>0\\x\in(0;\ 4)\ \cup\ (4;\ \infty)\)
\(f;(x)<0\\x\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (8;\ \infty)\)
Funkcja rośnie w przedziale \((0;\ 4)\) oraz w przedziale \((4;\ \infty)\), a maleje w przedziale \((\infty;\ 0)\) oraz w przedziale \((8;\ \infty)\)
Dla x=0 funkcja ma minimum lokalne
\(f(0)=\frac{0^2}{4-0}=0\)
Dla x=8 funkcja ma maksimum lokalne
\(f(8)=\frac{8^2}{4-8}=-16\)
\(\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{4-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\frac{4}{x}-1}=\infty\\\lim_{x\to4_-}\frac{x^2}{4-x}=\[\frac{16}{0_+}\]=\infty\\\lim_{x\to4_+}\frac{x^2}{4-x}=\[\frac{16}{0_-}\]=-\infty\\\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\frac{4}{x}-1}=-\infty\)
\(f'(x)=\frac{2x(4-x)-x^2\cdot(-1)}{(4-x)^2}=\frac{8x-2x^2+x^2}{(4-x)^2}=\frac{x(8-x)}{(4-x)^2}\)
\(f'(x)=0\\x_1=0\ \vee\ x_2=8\)
\(f'(x)>0\\x\in(0;\ 4)\ \cup\ (4;\ \infty)\)
\(f;(x)<0\\x\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (8;\ \infty)\)
Funkcja rośnie w przedziale \((0;\ 4)\) oraz w przedziale \((4;\ \infty)\), a maleje w przedziale \((\infty;\ 0)\) oraz w przedziale \((8;\ \infty)\)
Dla x=0 funkcja ma minimum lokalne
\(f(0)=\frac{0^2}{4-0}=0\)
Dla x=8 funkcja ma maksimum lokalne
\(f(8)=\frac{8^2}{4-8}=-16\)