Prawdopodobieństwo zad.1. Kule

[kaziolo]

Losujemy z urny 5 kul białych i 5 kul czarnych po jednej kuli, do momentu wylosowania kuli białej i zdobywamy tyle punktów ile razy losowaliśmy. Podaj rozkład wygranej X.

[irena]

\(P({1})=\frac{1}{2}\\P({2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{9}=\frac{5}{18}\\P({3})=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{36}\\P({4})=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{5}{84}\\P({5})=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{252}\\P({6})=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{5}=\frac{1}{252}\)

\(\{(1;\ \frac{1}{2});\ (2;\ \frac{5}{18});\ (3;\ \frac{5}{36});\ (4;\ \frac{5}{84});\ (5;\ \frac{5}{252});\ (6;\ \frac{1}{252})\}\)

[kaziolo]

a mogę prosić o wytłumaczenie jeszcze dlaczego tak?

[irena]

- Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli za pierwszym razem jest równe \(\frac{1}{2}\)

- prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli za drugim razem to prawdopodobieństwo wylosowania kul: (czarna, biała) i jest równe \(\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}\) (losujemy kulę czarną- 5 z 10 i kulę białą- 5 z 9)

- prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej za trzecim razem to prawdopodobieństwo wylosowania trójki (czarna, czarna, biała) i jest równe \(\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}\) (pierwszą czarną 5 z 10, drugą 5 z 9 i białą 5 z 8)

i tak dalej

[eresh]

a jeśli losujemy ze zwracaniem to:
\(P(X=1)=\frac{1}{2}\\
P(X=2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\\
P(X=3)=\frac{1}{2^3}\\
...\\
P(X=k)=\frac{1}{2^k}\)

[kaziolo]

3 losowania:
I losowanie: \(\frac{1}{2}\)
II losowanie: \(\frac{5}{9}\)
III losowanie:\(\frac{5}{8}\)

to skąd mamy:\(\frac{4}{9}?\)

[eresh]

trzecie losowanie:
za pierwszym razem czarna -\(\frac{1}{2}\)
teraz w urnie mamy 4 czarne i 5 białych - losujemy drugą czarna - \(\frac{4}{9}\)
w urnie jest 3 czarne i 5 białych - losujemy białą - \(\frac{5}{8}\)
czyli
\(P(3)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}\)

[kaziolo]

dziękuję, dziękuję, dziękuję !

[irena]

W drugim losowaniu:
\(P({2})=P(\{cb\})=\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{5}{18}\)

W trzecim losowaniu:
\(P({3})=P(\{ccb)\}=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{36}\)

Pierwszą czarną losujemy z prawdopodobieństwem 5/10, ale jeśli nie zwracamy kul do urny, to w urnie są 4 kule czarne i 5 białych, więc drugą czarną losujemy z prawdopodobieństwem 4/9, a białą z prawdopodobieństwem 5/8 (bo w urnie zostaje 8 kul, w tym 5 białych)