Newtona, indukcja

[Jety5]

Jak pokazac ze dla dowolnego n naturalnego zachodzi nierownosc metoda indukcji
\(\frac{4^n}{2\sqrt{n}} \le {2n \choose n}\)

[octahedron]

\(1)\,n=1\quad\Rightarrow\quad2=2

2)\,\frac{4^{n+1}}{2\sqrt{n+1}}=\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\cdot 4\sqrt{\frac{n}{n+1}}\)
\({2(n+1)\choose n+1}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}=\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{n!n!(n+1)^2}={2n\choose n}\cdot 4\cdot\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}
\(\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}\)^2=\frac{n^2+n+\frac{1}{4}}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{4(n+1)^2}>\frac{n}{n+1}\quad\Rightarrow\quad\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}>\sqrt{\frac{n}{n+1}}\)
\({2n\choose n}\ge\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\quad\Rightarrow\quad{2(n+1)\choose n+1}\ge\frac{4^{n+1}}{2\sqrt{n+1}}\)

[Jety5]

Mógłby ktoś to bardziej rozpisać, bo za bardzo nie wiem skąd te przekształcenia się wzieły

[octahedron]

Które przekształcenia?

[Jety5]

Linijka 2 i 4. Bardzo prosiłbym o rozpisanie.

Dokładnie to:
\(\frac{4^{n+1}}{2\sqrt{n+1}}=\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\cdot 4\sqrt{\frac{n}{n+1}}\)



\(\(\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}\)^2=\frac{n^2+n+\frac{1}{4}}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{4(n+1)^2}>\frac{n}{n+1}\quad\Rightarrow\quad\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}>\sqrt{\frac{n}{n+1}}\)

[octahedron]

\(\frac{4^n\cdot 4}{2\sqrt{n}}\cdot\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{4^{n+1}}{2\sqrt{n+1}}\)

\(\frac{n^2+n+\frac{1}{4}}{(n+1)^2}=\frac{n(n+1)+\frac{1}{4}}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{4(n+1)^2}\)