Wyznaczyć funkcję tworzącą (generującą)
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wyznaczyć funkcję tworzącą (generującą)
\(a_{n+3} -3a_{n+2}+4a_n=0\)
Jak tego dokonać? Nie wiem na ten temat nic :<
Jak tego dokonać? Nie wiem na ten temat nic :<
- kacper218
- Expert
- Posty: 4077
- Rejestracja: 02 paź 2009, 14:33
- Lokalizacja: Radzymin
- Podziękowania: 5 razy
- Otrzymane podziękowania: 1382 razy
- Płeć:
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... rz%C4%85ce
http://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materi ... cje_tw.pdf
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... rz%C4%85ce
http://1rok.info-wyspa.net.pl/wyspa/2se ... orzace.pdf
http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_tworz%C4%85ca
Są to pierwsze 5 wyników z google na temat "funkcje tworzące", więc nie mów że nie ma - po prostu nie szukasz.
http://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materi ... cje_tw.pdf
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... rz%C4%85ce
http://1rok.info-wyspa.net.pl/wyspa/2se ... orzace.pdf
http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_tworz%C4%85ca
Są to pierwsze 5 wyników z google na temat "funkcje tworzące", więc nie mów że nie ma - po prostu nie szukasz.
Pomogłem? Daj plusika
Masz pytania? Napisz priv
Przepisywanie prac do \(\LaTeX- a\)
Korepetycje Radzymin i okolice.
Masz pytania? Napisz priv
Przepisywanie prac do \(\LaTeX- a\)
Korepetycje Radzymin i okolice.
Re: Wyznaczyć funkcję tworzącą (generującą)
Dobra, powiedzmy, że mamy taki ciąg:
\(a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-8a_n=n\) , \(a_0=0, a_1=0, a_2=-1\)
Doszedłem do momentu:
m=n+3
\(\sum_{m=3}^{ \infty } a_m T^m - 6\sum_{m=2}^{ \infty } a_m T^{m+1} + 12 \sum_{m=1}^{ \infty } a_m T^{m+2} - 8\sum_{m=0}^{ \infty } a_m T^{m+3} = \sum_{m=0}^{ \infty } m T^{m+3}\)
Co dalej ?
\(a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-8a_n=n\) , \(a_0=0, a_1=0, a_2=-1\)
Doszedłem do momentu:
m=n+3
\(\sum_{m=3}^{ \infty } a_m T^m - 6\sum_{m=2}^{ \infty } a_m T^{m+1} + 12 \sum_{m=1}^{ \infty } a_m T^{m+2} - 8\sum_{m=0}^{ \infty } a_m T^{m+3} = \sum_{m=0}^{ \infty } m T^{m+3}\)
Co dalej ?
-
- Fachowiec
- Posty: 1751
- Rejestracja: 05 sie 2009, 13:08
- Otrzymane podziękowania: 207 razy
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-8a_n=n
\sum_{n=0}^\infty a_{n+3}x^n-6\sum_{n=0}^\infty a_{n+2}x^n+12\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^n-8\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n
\sum_{n=0}^\infty a_{n+3}x^{n+3}-6x\sum_{n=0}^\infty a_{n+2}x^{n+2}+12x^2\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^{n+1}-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^4\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}
\sum_{n=3}^\infty a_nx^n-6x\sum_{n=2}^\infty a_nx^n+12x^2\sum_{n=1}^\infty a_nx^n-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^4\(\sum_{n=1}^\infty x^n\)'
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-6x\sum_{n=0}^\infty a_nx^n+12x^2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=
=(a_0+a_1x+a_2x^2+6a_0x+6a_1x^2+12a_0x^2)+x^4\(\frac{x}{1-x}\)'
(1-6x+12x^2-8x^3)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=-x^2+\frac{x^4}{(1-x)^2}
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=-\frac{x^2}{(1-x)^2(1-2x)^2}=-\frac{4}{2x-1}-\frac{1}{(2x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{4}{1-2x}-\(\frac{1}{2(1-2x)}\)'-\frac{2}{1-x}-\(\frac{1}{1-x}\)'=
=4\sum_{n=0}^\infty (2x)^n-\frac{1}{2}\(\sum_{n=0}^\infty (2x)^n\)'-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\(\sum_{n=0}^\infty x^n\)'=
=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+2}x^n-\sum_{n=1}^\infty n2^{n-1}x^{n-1}-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=
=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+2}x^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1)2^nx^n-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\sum_{n=0}^\infty \[2^{n+2}-(n+1)2^n-2-(n+1)\]x^n=
=\sum_{n=0}^\infty \[(3-n)2^n-n-3\]x^n
\fbox{a_n=(3-n)2^n-n-3}\)
\sum_{n=0}^\infty a_{n+3}x^n-6\sum_{n=0}^\infty a_{n+2}x^n+12\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^n-8\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n
\sum_{n=0}^\infty a_{n+3}x^{n+3}-6x\sum_{n=0}^\infty a_{n+2}x^{n+2}+12x^2\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^{n+1}-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^4\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}
\sum_{n=3}^\infty a_nx^n-6x\sum_{n=2}^\infty a_nx^n+12x^2\sum_{n=1}^\infty a_nx^n-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^4\(\sum_{n=1}^\infty x^n\)'
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-6x\sum_{n=0}^\infty a_nx^n+12x^2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=
=(a_0+a_1x+a_2x^2+6a_0x+6a_1x^2+12a_0x^2)+x^4\(\frac{x}{1-x}\)'
(1-6x+12x^2-8x^3)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=-x^2+\frac{x^4}{(1-x)^2}
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=-\frac{x^2}{(1-x)^2(1-2x)^2}=-\frac{4}{2x-1}-\frac{1}{(2x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{4}{1-2x}-\(\frac{1}{2(1-2x)}\)'-\frac{2}{1-x}-\(\frac{1}{1-x}\)'=
=4\sum_{n=0}^\infty (2x)^n-\frac{1}{2}\(\sum_{n=0}^\infty (2x)^n\)'-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\(\sum_{n=0}^\infty x^n\)'=
=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+2}x^n-\sum_{n=1}^\infty n2^{n-1}x^{n-1}-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=
=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+2}x^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1)2^nx^n-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\sum_{n=0}^\infty \[2^{n+2}-(n+1)2^n-2-(n+1)\]x^n=
=\sum_{n=0}^\infty \[(3-n)2^n-n-3\]x^n
\fbox{a_n=(3-n)2^n-n-3}\)