1) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest równa 10cm i tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt 30stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
2)W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy h=6cm, kąt między ścianą boczną a podstawą a=60stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tej bryły
3)Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawęzi podstawy 6cm, w którym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 60stopni.
4) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długości wszystkich krawędzi są równe 8cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
5)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie są równe, ich suma równa się 64cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
Stereometria- Ostrosłupy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
a- krawędź podstawy
R- promień okręgu opisanego na postawie
H- wysokość ostrosłupa
b=10cm - krawędź boczna
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trójkąt o bokach R, H, b to trójkąt prostokątny, w którym b jest przeciwprostokątną. Kąt \(30^0\) to kąt między bokami H i b.
Taki trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, więc:
\(R=\frac{1}{2}b=5cm\\H=R\sqrt{3}\\H=5\sqrt{3}cm\)
\(\frac{a\sqrt{3}}{3}=5\\a\sqrt{3}=15\\3a=15\sqrt{3}\\a=5\sqrt{3}\\P_p=\frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{4}cm^2\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{75\sqrt{3}}{4}\cdot5\sqrt{3}=\frac{375}{4}cm^3\)
a- krawędź podstawy
R- promień okręgu opisanego na postawie
H- wysokość ostrosłupa
b=10cm - krawędź boczna
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trójkąt o bokach R, H, b to trójkąt prostokątny, w którym b jest przeciwprostokątną. Kąt \(30^0\) to kąt między bokami H i b.
Taki trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, więc:
\(R=\frac{1}{2}b=5cm\\H=R\sqrt{3}\\H=5\sqrt{3}cm\)
\(\frac{a\sqrt{3}}{3}=5\\a\sqrt{3}=15\\3a=15\sqrt{3}\\a=5\sqrt{3}\\P_p=\frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{4}cm^2\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{75\sqrt{3}}{4}\cdot5\sqrt{3}=\frac{375}{4}cm^3\)
2.
h=6cm - wysokość podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
a- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
k- wysokość ściany bocznej
\(r=\frac{1}{3}h\\r=2cm\)
Trójkąt o bokach r, H, k to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej k. Dany kąt to kąt między bokami r i b.
Ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, więc:
\(k=2r\\k=4cm\\H=r\sqrt{3}\\H=2\sqrt{3}\)
\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\frac{a\sqrt{3}}{2}=6\\a\sqrt{3}=12\\3a=12\sqrt{3}\\a=4\sqrt{3}\)
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot6=12\sqrt{3}cm^2\\V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=24cm^3\)
\(P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4=24\sqrt{3}cm^2\)
h=6cm - wysokość podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
a- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
k- wysokość ściany bocznej
\(r=\frac{1}{3}h\\r=2cm\)
Trójkąt o bokach r, H, k to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej k. Dany kąt to kąt między bokami r i b.
Ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, więc:
\(k=2r\\k=4cm\\H=r\sqrt{3}\\H=2\sqrt{3}\)
\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\frac{a\sqrt{3}}{2}=6\\a\sqrt{3}=12\\3a=12\sqrt{3}\\a=4\sqrt{3}\)
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot6=12\sqrt{3}cm^2\\V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=24cm^3\)
\(P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4=24\sqrt{3}cm^2\)
3.
a=6cm - krawędź podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
H- wysokość ostrosłupa
h- wysokość ściany bocznej.
\(r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\r=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}cm\)
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny o bokach r, H, h
\(H=r\sqrt{3}\\H=3cm\)
\(P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}cm^2\\V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot3=9\sqrt{3}cm^3\)
a=6cm - krawędź podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
H- wysokość ostrosłupa
h- wysokość ściany bocznej.
\(r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\r=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}cm\)
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny o bokach r, H, h
\(H=r\sqrt{3}\\H=3cm\)
\(P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}cm^2\\V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot3=9\sqrt{3}cm^3\)
4.
a=8cm - krawędź podstawy
b=8cm - krawędź boczna
d- przekątna postawy
H- wysokość ostrosłupa
\(d=a\sqrt{2}\\d=8\sqrt{2}cm\)
Trójkąt o bokach d, b, b to trójkąt równoramienny.
Ponieważ
\(d^2=(8\sqrt{2})^2=128=b^2+b^2\)
więc trójkąt ten jest prostokątny.
Wysokość tego trójkąta poprowadzona na bok d jest równa połowie boku d. Wysokość ta to wysokość ostrosłupa
\(H=4\sqrt{2}cm\)
\(P_p=8^2=64cm^2\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}cm^3\)
Ściany boczne to trójkąty równoboczne
\(P_b=4\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}cm^2\)
\(P_c=64+64\sqrt{3}=64(1+\sqrt{3})cm^2\)
a=8cm - krawędź podstawy
b=8cm - krawędź boczna
d- przekątna postawy
H- wysokość ostrosłupa
\(d=a\sqrt{2}\\d=8\sqrt{2}cm\)
Trójkąt o bokach d, b, b to trójkąt równoramienny.
Ponieważ
\(d^2=(8\sqrt{2})^2=128=b^2+b^2\)
więc trójkąt ten jest prostokątny.
Wysokość tego trójkąta poprowadzona na bok d jest równa połowie boku d. Wysokość ta to wysokość ostrosłupa
\(H=4\sqrt{2}cm\)
\(P_p=8^2=64cm^2\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}cm^3\)
Ściany boczne to trójkąty równoboczne
\(P_b=4\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}cm^2\)
\(P_c=64+64\sqrt{3}=64(1+\sqrt{3})cm^2\)
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Zad.4
\(a=b=8cm\\
P_p=a^2=8^2=64cm^2\\
P_{boczne}=4\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}=4\cdot \frac{64\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}cm^2\)
Do obliczenia wysokości H ostrosłupa zastosuj tw.Pitagorasa w trójkacie prostokątnym
o przyprostokątnych H i pół przekątnej podstawy,przeciwprostokątna to krawedź boczna b.
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\\
H^2=8^2-(4\sqrt{2})^2=64-32=32=16\cdot 2\\
H=4\sqrt{2}\\
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}cm^3\)
\(a=b=8cm\\
P_p=a^2=8^2=64cm^2\\
P_{boczne}=4\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}=4\cdot \frac{64\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}cm^2\)
Do obliczenia wysokości H ostrosłupa zastosuj tw.Pitagorasa w trójkacie prostokątnym
o przyprostokątnych H i pół przekątnej podstawy,przeciwprostokątna to krawedź boczna b.
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\\
H^2=8^2-(4\sqrt{2})^2=64-32=32=16\cdot 2\\
H=4\sqrt{2}\\
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}cm^3\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 25 maja 2013, 12:02
- Płeć:
Trójkąt o bokach r, H, k to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej k. Dany kąt to kąt między bokami r i b.
Ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego...???
Ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego...???
We provide with 100% pass guarantee along with Pass4sure C4040-109