Całki (objętość brył)

[paulina49]

Oblicz objętość brył ograniczonych powierzchniami
a)\(x^2+y^2+z^2=4\), \(x^2+y^2=1\)
b)x+y+z=3, \(x^2+y^2=4\), z=0
c)\(z=5-x^2-y^2\), z=1
d)\(\frac{x^2}{4}+y^2\), \(z=2- \sqrt{ \frac{x^2}{4}+y^2 }\)

[octahedron]

\(a)\quad \{x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\z=\pm\sqrt{4-r^2}\.
V=\int_0^{2\pi}\int_0^12\sqrt{4-r^2}\cdot r\,drd\varphi=\int_0^{2\pi}\int_3^4\sqrt{u}\,dud\varphi=\frac{4}{3}\pi(8-3\sqrt{3})\)

[kejkun]

a moglby ktos wytłumaczyc skad sie biora takie granice całkowania ?
i czemu \(2 \ \cdot \ z\)

bierzemy tu jakby +z , i \(| -z |\) hm ?

[octahedron]

Właśnie tak: \(\sqrt{4-r^2}-(-\sqrt{4-r^2})\), od górnej powierzchni "odejmujemy" dolną.

[kejkun]

a czemu w całkach takie granice całkowania ?

[octahedron]

\(b)\quad \{x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\z_1=3-r(\cos\varphi+\sin\varphi)\\z_2=0\.
V=\int_0^2\int_0^{2\pi}[3-r(\cos\varphi+\sin\varphi)-0]r\,d\varphi dr=\int_0^26\pi r\,dr=12\pi\)

[octahedron]

\(b)\quad \{x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\z_1=5-r^2\\z_2=1\.
V=\int_0^2\int_0^{2\pi}(5-r^2-1)r\,d\varphi dr=\int_0^2\pi(4-r^2)\cdot 2r\,dr=\int_0^4\pi u\,du=8\pi\)

[octahedron]

A w d) brakuje czegoś w równaniu pierwszej powierzchni.

[paulina49]

tak brakuje z=...

[octahedron]

\(d)\quad\{x=2r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\z_1=r^2\\z_2=2-r\.
V=\int_0^{2\pi}\int_0^1(2-r-r^2)\cdot 2r\,drd\varphi=4\pi\int_0^12r-r^2-r^3\,dr=\frac{2\pi}{3}\)