Całka

[saszaw90]

\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}t^2 \right) dt = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{1}{2}t^2 \right] dt = \frac{2a}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2} \int\limits_{0}^{\infty} (-y^2) dy = ...\)

Mam problem z wyłapaniem obliczeń tej całki. Nie wiem, skąd się wzięła dwójka przed całką \(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{1}{2}t^2 \right] dt\), a następnie w ostatnim, skąd się wzięła dwójka w liczniku i \(\sqrt{2}\) przed całką.

A to wiem, \(-y^2\) wzięło z podstawienia \(t = \sqrt{2}y\)

Wytłumaczy mi ktoś, bo długo na tym się rozmyślam, dlaczego tak.

[radagast]

\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}t^2 \right) dt = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{1}{2}t^2 \right] dt = \frac{2a}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2} \int\limits_{0}^{\infty} (-y^2) dy = ...\)

Mam problem z wyłapaniem obliczeń tej całki. Nie wiem, skąd się wzięła dwójka przed całką \(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{1}{2}t^2 \right] dt\), a następnie w ostatnim, skąd się wzięła dwójka w liczniku i \(\sqrt{2}\) przed całką.

A to wiem, \(-y^2\) wzięło z podstawienia \(t = \sqrt{2}y\)

Wytłumaczy mi ktoś, bo długo na tym się rozmyślam, dlaczego tak.

Wygląda na to, że ona się wzięła ze zwykłej pomyłki (nie powinno jej tam być)

[saszaw90]

Czyli dwójki nie powinno być, rozumiem, a dalsza część - ostatnie?

Czyli tak powinno być:

\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}t^2 \right) dt = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2} \int\limits_{0}^{\infty} (-y^2) dy = ...\)

[radagast]

\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}t^2 \right) dt =
\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{1}{2}t^2 \right] dt =
\frac{2a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{0}^{\infty} (-\frac{1}{2}y^2) dy =
\frac{-a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{0}^{\infty} y^2 dy = ...\)

myślę, że powinno być tak . Przy czym zamiana t na y nie ma żadnego znaczenia. (nie mam pojęcia po co została dokonana)
i w ogóle te dwa środkowe przekształcenie - nie potrzebne.

[saszaw90]

Źle zacząłem, powinien był napisać wszystko od początku, w takim razie:

\(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot e^{-\frac{(x-a^2)}{2\sigma^2}} \mbox{d}x = \begin{vmatrix} {t = \frac{x-a}{\sigma} \\ x = a + \sigma t \\ \mbox{d}t = \frac{1}{\sigma} \mbox{d}x}\end{vmatrix} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (a + \sigma t) e^{-\frac{t^2}{2}} \sigma \mbox{d}t =\)
\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} \mbox{d}t + \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} t \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} \mbox{d}t = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} \mbox{d}t + 0 = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{[-\frac{t^2}{2}]} \mbox{d}t =\)
\(\begin{vmatrix} {t = \sqrt{2}y}\end{vmatrix} = \frac{2a}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2} \int\limits_{0}^{\infty} \exp (-y^2) \mbox{d}y = \frac{2a \sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2\pi}} = a\)

Może się wyjaśni ta dwójka przed całką. Jak coś tu jest źle, to bardzo ładnie proszę o poprawienie.

Jeszcze mam pytanie, czemu wyrażenie \(\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} t \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} \mbox{d}t\) równa się \(0\)? Z tego co wiem, bo funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą - tylko jak po tym rozpoznać, że jest f. nieparzystą?

Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

[saszaw90]

Czekam na odpowiedź Radagast, liczę na Ciebie.

[radagast]

Tej pierwszej części to Ci ne wyjaśnię , bo dla mnie już to jest niezrozumiałe.

\(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot e^{-\frac{(x-a^2)}{2\sigma^2}} \mbox{d}x = \begin{vmatrix} {t = \frac{x-a}{\sigma} \\ x = a + \sigma t \\ \mbox{d}t = \frac{1}{\sigma} \mbox{d}x}\end{vmatrix} =^? \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (a + \sigma t) e^{-\frac{t^2}{2}} \sigma \mbox{d}t\)

Nie twierdzę , że to jest nieprawda ale na razie nie wiem dlaczego tak jest.

Natomiast z łatwością odpowiem Ci na drugie pytanie:

funkcja
\(f(t)=t \cdot e^{-\frac{t^2}{2}}\)
jest nieparzysta, bo \(f(-t)= -t \cdot e^{-\frac{(-t)^2}{2}}=-f(t)\)

[radagast]

\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} \mbox{d}t + 0 = \frac{a}{\sqrt{2\pi}} 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{[-\frac{t^2}{2}]} \mbox{d}t =\)

powiedz mi jeszcze co oznacza ten nawias kwadratowy ( w wykładniku)?

[saszaw90]

Dziękuję za wyjaśnienie z tą funkcją nieparzystą. No to już jest dla mnie zrozumiałe

Też nie mogę tego rozgryźć, dlaczego tak jest. Mam zapisane to rozwiązanie z tymi podstawieniami na początku, tyle, że nie mogę zrozumieć tych obliczeń, więc spróbowałem zrobić od nowa i korzystałem z tej strony http://www.if.pw.edu.pl/PUK/owp/10b.htm, tam jest właśnie dziwny nawias kwadratowy.

Na tej stronie od razu na początku są obliczenia.

[kacper218]

Strasznie zagmatwali te obliczenia na tej stronie. Wystarczy wykorzystać znajomość całki:
\(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)
i teraz mamy:
\(\frac{a}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=a\)

[saszaw90]

No teraz jest jasne, ale masakra na tej stronie, że nieźle mi pomieszało w głowie. Cieszę się, że już się wyjaśniło.

Tylko z podstawieniami na początku jest okej?

Aaa jeszcze pytanie, skąd wiedziałeś, że \(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)?

Patrzę na wzory na całki i nie ma tego wzoru. Nawet o tym nie wiedziałem (i skąd mogłem wiedzieć ), dlatego sprawiały mi trudności podczas obliczeń.

[kacper218]

na rachunku czy statystyce to jeden z podstawowych wzorów nawet w książkach podaje się wartości tablicowe dla tej całki (dystrybuanta dla rozkładu normalnego - dla odpowiednich parametrów)
Podstawienia są ok aczkolwiek ten fragment z dwójka jest dla mnie jakiś dziwny - dlatego razu skorzystałbym z tej całki co wyżej.

[saszaw90]

Dziękuję za odpowiedź