Udowodnić

[Rosee1993]

Udowodnić, że jeżeli\(x+y=4\) , \(x,y \in \mathbb{R}\) to \(x^{2}+y^{2} \ge 4\)

Zrobiłam to tak, że \(y=4-x\) i podstawiłam do \(x^{2}+y^{2}\) z czego mi wyszło \(2(x-2)^{2}+8\)
wiadomo, że \(2(x-2)^{2} \ge 0\), natomiast nie wiem co dalej.

[irena]

Oznacza to, że \(x^2+y^2\ge8>4\)

Można też tak:
\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(x+y=4\\(x+y)^2=16\\x^2+2xy+y^2=16\\x^2+y^2+x^2+y^2\ge16\\x^2+y^2\ge8\)