Funkcja trygonometryczna...

[Krzysiek_no1]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadanek:
1) Wyznacz zbiór wartości funkcji\(f(x)=sin^4x+cos^4x\), gdzie x należy do R.
2) Rozwiąż równanie: \(log_{0,5cos2x}sinx=\frac{1}{2}\).Prosiłbym też tutaj o podanie dziedziny, bo nie wiem jak określić jej część wspólną.
Niestety do zadanek nie dostałem żadnych odpowiedzi. Z góry dziękuję za pomoc.

[irena]

1.
\(sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1^2-2sin^2xcos^2x=\\=1-\frac{1}{2}\cdot(2sinxcosx)^2=1-\frac{1}{2}sin^22x\)

\(-1\leq\ sin2x\leq1\\0\leq\ sin^22x\leq1\\\frac{1}{2}\ \leq\ 1-\frac{1}{2}sin^22x\leq1\)

Czyli zbiór wartości f(x) \(Z_f=<\frac{1}{2};\ 0>\)

2.
\(log_{\frac{1}{2}cos2x}sinx=\frac{1}{2}\)

Założenia:

\(1)\ \frac{1}{2}cos2x>0\ \wedge\ 2)\ \frac{1}{2}cos2x\neq\ 1\ \wedge\ 3)\ sinx>0\\1)\ 2x\in(-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi)\\x\in(-\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+k\pi)\\2)\ cos2x\neq2\\x\in\ R\\3)\ x\in(2k\pi;\pi+2k\pi)\)

Dziedzina:

\(D=x\in(2k\pi;\ \frac{\pi}{4}+2k\pi)\ \cup\ (\frac{3}{4}\pi+2k\pi;\ \pi+2k\pi)\)


\(sinx=\sqrt{\frac{cos2x}{2}}\\sin^2=\frac{cos2x}{2}\\2sin^2x=cos^2x-sin^2x\\2sin^2x=1-2sin^2x\\4sin^2x=1\\sin^2x=\frac{1}{4}\\sinx=\frac{1}{2}\ \vee\ sinx=-\frac{1}{2}\)

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi\ \vee\ x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi\ \vee\ x=\frac{11}{6}\pi+2k\pi\)

\(\frac{7}{6}\pi+2k\pi\ \not\in\ D,\ \frac{11}{6}\pi+2k\pi\ \not\in\ D\)

Rozwiązanie:

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi\)

[Krzysiek_no1]

Dzięki za pomoc