okrąg wpisany w trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
okrąg wpisany w trójkąt
w trójkąt prostokątny ABC wpisano okrąg . Punkty M, N ,P sa punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AC,BC oraz AB . Przeciwprostokątna AB ma długość 20 cm a długości przyprostokątnych pozostaja w stosunku AC : BC =3:4 . Oblicz obwód trójkąta PBC
|AB|=20cm=c
|AC|=b, |BC|=a
\(\\a^2+b^2=20^2\\b:a=3:4\\b=\frac{3}{4}a\\a^2+\frac{9}{16}a^2=400\\a=16cm\\b=12cm\)Obliczę promień okręgu (r), korzystając ze wzoru na pole trójkąta
\(P=\frac{ab}{2}=r\cdot\frac{a+b+c}{2}\\\frac{12\cdot16}{2}=r\cdot\frac{48}{2}\\r=4cm\)
Skorzystam z faktu, że odcinki stycznych są równe, czyli |PB|=|BN|, |AP|=|AM| i |MC|=|CN|, przy czym CMON jest kwadratem, więc |CM|=|CN|=r=4cm
Stąd |PB|=|BN|=12cm.
Kąt ABC oznaczyłam \(\beta\). \(cos\beta=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\)
Długość odcinka PC obliczę, korzystając z twierdzenia cosinusów |PC|=x
\(x^2=|PB|^2+|BC|^2-2\cdot|PB|\cdot|BC|\cdot\ cos\beta\\x^2=12^2+16^2-2\cdot12\cdot16\cdot\frac{4}{5}\\x^2=400-\frac{1536}{5}\\x^2=\frac{464}{5}\\x=\frac{4\sqrt{145}}{5}cm\)
Obwód trójkąta PBC:
\(Ob=12+16+\frac{4\sqrt{145}}{5}=\frac{140+4\sqrt{145}}{5}cm\)
|AC|=b, |BC|=a
\(\\a^2+b^2=20^2\\b:a=3:4\\b=\frac{3}{4}a\\a^2+\frac{9}{16}a^2=400\\a=16cm\\b=12cm\)Obliczę promień okręgu (r), korzystając ze wzoru na pole trójkąta
\(P=\frac{ab}{2}=r\cdot\frac{a+b+c}{2}\\\frac{12\cdot16}{2}=r\cdot\frac{48}{2}\\r=4cm\)
Skorzystam z faktu, że odcinki stycznych są równe, czyli |PB|=|BN|, |AP|=|AM| i |MC|=|CN|, przy czym CMON jest kwadratem, więc |CM|=|CN|=r=4cm
Stąd |PB|=|BN|=12cm.
Kąt ABC oznaczyłam \(\beta\). \(cos\beta=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\)
Długość odcinka PC obliczę, korzystając z twierdzenia cosinusów |PC|=x
\(x^2=|PB|^2+|BC|^2-2\cdot|PB|\cdot|BC|\cdot\ cos\beta\\x^2=12^2+16^2-2\cdot12\cdot16\cdot\frac{4}{5}\\x^2=400-\frac{1536}{5}\\x^2=\frac{464}{5}\\x=\frac{4\sqrt{145}}{5}cm\)
Obwód trójkąta PBC:
\(Ob=12+16+\frac{4\sqrt{145}}{5}=\frac{140+4\sqrt{145}}{5}cm\)
A można by to było obliczyć bez twierdzenia cosinusów? Na profilu podstawowym tego nie ma ;/Można i bez twierdzenia cosinusów.
Obliczyć można wysokość trójkąta poprowadzoną na przeciwprostokątną - h, z pola trójkąta
\(P=\frac{12\cdot16}{2}=\frac{20h}{2}\\h=\frac{48}{5}\)
Spodek tej wysokości oznaczyłam R. Odcinki: AR i RB to części, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. Iloczyn ich długości jest równy \(h^2\). Długość odcinka AR =k.
Iloczyn \(k(20-k)=(\frac{48}{5})^2\) i otrzymuje się równanie kwadratowe :
\(25k^2-500k+2304=0\\\Delta=19600\\\sqrt{\Delta}=140\\k_1=\frac{36}{5}\ \vee\ k_2=\frac{64}{5}\).
Odcinek \(|AR|=\frac{36}{5}\)
\(|PR|=|AP|-|AR|\\|PR|=8-\frac{36}{5}\\|PR|=\frac{4}{5}\)
I teraz z prostokątnego trójkąta CRP:
\(|PC|^2=h^2+|PR|^2\\|PC|^2=(\frac{48}{5})^2+(\frac{4}{5})^2\\|PC|^2=\frac{2320}{25}\\|PC|=\frac{4\sqrt{145}}{5}cm\)
Obliczyć można wysokość trójkąta poprowadzoną na przeciwprostokątną - h, z pola trójkąta
\(P=\frac{12\cdot16}{2}=\frac{20h}{2}\\h=\frac{48}{5}\)
Spodek tej wysokości oznaczyłam R. Odcinki: AR i RB to części, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. Iloczyn ich długości jest równy \(h^2\). Długość odcinka AR =k.
Iloczyn \(k(20-k)=(\frac{48}{5})^2\) i otrzymuje się równanie kwadratowe :
\(25k^2-500k+2304=0\\\Delta=19600\\\sqrt{\Delta}=140\\k_1=\frac{36}{5}\ \vee\ k_2=\frac{64}{5}\).
Odcinek \(|AR|=\frac{36}{5}\)
\(|PR|=|AP|-|AR|\\|PR|=8-\frac{36}{5}\\|PR|=\frac{4}{5}\)
I teraz z prostokątnego trójkąta CRP:
\(|PC|^2=h^2+|PR|^2\\|PC|^2=(\frac{48}{5})^2+(\frac{4}{5})^2\\|PC|^2=\frac{2320}{25}\\|PC|=\frac{4\sqrt{145}}{5}cm\)